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爱多士与布吕宁的关系几乎是一个注定要失败的实验。“我有些不正常，”爱多士在希塞里的电影里解释说，他的声音充满了痛苦，“我无法经受性爱的欢乐。”爱多士即使对最轻微的身体接触也会敬而远之；当陌生人跟他握手时，他最多也就是虚虚伸手与对方的手轻轻擦一下。即使是快速偶然的接触也会令爱多士感到不舒服，一整天都在强迫自己洗手。
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爱多士一生痛恨孤独，他会利用一切机会置身于朋友和同事们之中。他喜欢与朋友在一起，特别是那些有孩子的朋友，这些孩子管他叫保罗叔叔。但爱多士从来不会在某个地方待很长时间，即使是在人群中间，在他那神圣的个人空间的包围下，他也会陷入深深的孤独。他总认为是他的“不正常”造成了他的天马行空。看到爱多士在希塞里的电影里漫步穿过公园和走廊，你一定会被他极端的孤独所触动。爱多士把他自己这种极度的抽离看作他的心理组成的根本部分，看作既是痛苦也是力量的源泉。“我有一个基本特点，总是想与众不同，”他解释说，“那是非常非常根深蒂固的，从很小的时候开始，我就会自动地抗拒使我趋同于他人的压力。”
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无人知晓爱多士讨厌身体接触的根源，尽管一个家族成员认为，问题应归因于他先天的体格状况。不管是什么原因，都不能阻止爱多士母亲偶尔的试探。有一次，在匈牙利巴拉顿湖举行的聚会上，爱多士的朋友兼合作者亚诺什·保奇（Janos Pach）听到爱多士的母亲喊：“保罗，你为什么没有孩子？”
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“母亲，你是不是觉得我阳痿？”他回答。
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爱多士圈子里的年轻数学家大都（虽然不是全部）是男性，他的这些男性朋友中许多人都如同迷恋数学一样迷恋女人。他们常去看电影并盯着漂亮的美国女演员直瞧，爱多士可从不奉陪。瓦佐尼回忆说他们喜欢通过谈论与性有关的事情来刺激爱多士。有一次，朋友们去拜访爱多士，他正在把食品打包准备邮寄到中国去，以救济那里的饱受内战之苦的老百姓。他们跟他开玩笑说，如果他能陪他们去看脱衣舞表演，他们就给他100美元的奖赏。因为知道爱多士的性神经质，他们以为他们的钱一定很安全。不料爱多士居然表示同意，这使他们大为吃惊。看完表演后，爱多士笑嘻嘻地把钱收起来说：“瞧你们这群无聊的家伙，我耍了你们。我摘了眼镜什么也没看见！”
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用“无聊”这个词来指代愚蠢，这只不过是数学家们所共知的爱多士语言中的一例专门用语。爱多士语言是爱多士从大学时代就开始发明的，在语源学上与数学术语一脉相承。例如，爱多士喜欢小孩，他一直把小孩子称为“埃泼西龙”（epsilon），这个名字来源于希腊字母ε，数学家用它表示趋于零的任意小量。在他的朋友拉斯洛·奥尔帕尔（László Alpár）因参加共产党学生活动于1933年被捕入狱时，爱多士通知朋友说“L. A.正在研究约当定理(3)”。约当定理叙述了一个似乎显而易见但证明起来却极其困难的事实，即任何封闭曲线把平面分成内外两部分。爱多士的意思是说奥尔帕尔现在监狱内部。爱多士语言是有教育意义的：塞凯赖什就是从爱多士的双关语中第一次学到这条重要的定理。
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这种迂回的表达方法是一种学究式的逗乐，但也可以派实际的用场。谈论政治事件如果被窃听是很危险的。因此在爱多士语言中，苏联总是用“乔”（Joe）即约瑟夫·斯大林（Josef Stalin）来代替，美国则说成“山姆”（Sam）。爱多士会用自己的语言给埃泼西龙们朗诵一首著名的儿歌：山姆与乔爬上山，他们去抢一桶水……他会一本正经地向纠正他的人解释说，杰克（Jack）和吉尔（Jill）是伊丽莎白时代的政客；共产主义者则用“长波”来指代，因为在可见光谱中红色光的波长最长。
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在那些日子里，爱多士对音乐还不太感兴趣，他把音乐说成“噪音”。即使他后来喜欢音乐了，还把它说成噪音，这个措辞倒很适用于他的房东，因为他不得不忍受爱多士成天放收音机里的音乐。他很少喝酒，酒的代名词就变成“毒药”。政治上不太恰当的词汇是他关于人类关系的措辞。一个朋友结婚了，爱多士就说他“被擒了”。妻子是“老板”，丈夫是“奴隶”。他一直未弄明白这种说法为什么惹怒了他的一些朋友，实际上，在他的许多女性合作者中没有一个人曾经注意到他身上有丝毫的性别主义。对这些措辞的解释可能很简单：匈牙利人的妻子传统上把丈夫称为“主人”，爱多士恰恰反其道而行之。
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爱多士创造的最有趣的新词可能是“最高法西斯”（Supreme Fascist）或SF，这是他对自己并不信仰的上帝的称呼。爱多士的观点就是，人类与SF之间的关系基本上是一场我们不得不参加又注定要失败的不公平比赛。SF是所有最佳数学证明之书的作者，他把内容隐藏起来，这是SF的残忍之处。为此，我们不得不自己耗尽我们的心智和直觉去重现SF的隐藏之书中的内容。当被问到：“生命的目标是什么？”爱多士就会回答：“去证明，去猜想，让SF得低分。”他认为人类不断地卷进一场与SF之间生死攸关的严酷比赛，在这场赛事中：“如果你做了不好的事，SF就至少得到2分。如果有些事你能做却没有做好，SF至少得1分。如果你做得不错则无人得分。”人类无法赢得这场比赛，所以，生命的目标不是胜利。“目的是让SF得低分。”
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随着世界卷入另一场灾难性的战争，爱多士那关于SF统治人类的宇宙观似乎变得合理了。在那个荒唐的年代他和朋友们躲在数学这个理性的王国里。他们经常到布达山郊游，继续在城市公园中聚会，但讨论重点却开始从解决实际问题和刷新已知的结果转向创造性的工作及合作研究。塞凯赖什领先图兰几个月成为爱多士的第一个合作者。图兰与爱多士的合作则贯穿了他的余生，他们合写了30篇论文。
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瓦佐尼是另一个早期的但也许有些被动的合作者。瓦佐尼曾经研究过与大名鼎鼎的哥尼斯堡七桥问题相关的问题，许多数学家认为图论（graph theory）领域可溯源于这个哥尼斯堡七桥问题。在普鲁士城市哥尼斯堡（现称加里宁格勒），有一条名叫普雷格尔的河流穿城而过。一座名叫克奈普霍夫的小岛位于普雷格尔河的河岔中间，七座小桥形成一个网络，连接着小岛与河岸。
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在温和宜人的傍晚，哥尼斯堡的市民喜欢散步穿过城中的七座桥，在散步过程中自然地产生了一个问题。是否可能设计一种走法，从每座桥经过一次而且仅仅一次？伟大而多产的瑞士数学家欧拉于1736年解决了这个问题。欧拉在数学产出方面仅次于爱多士；(4)他一生写了886部书和论文。其中超过一半是他在58岁双目失明以后完成的。“我听说，有些人否认这种走法的可能性，其他一些人也表示怀疑，没有一个人认为那确实是可能的。”欧拉写道。于是他开始着手证明这个小镇居民的猜测是正确的。因为爱多士一生的大部分时间都在研究图论问题，所以花些笔墨来考察一下欧拉的简单证明是值得的。
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图4-1 欧拉1736年论文中的哥尼斯堡七桥图
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欧拉所做的第一件事是，通过消除哥尼斯堡地图上的非必要元素把这个问题翻译成更容易进行数学分析的形式。他把大片陆地压缩成点，现代图论学家称其为顶点。连接大片陆地的桥称为线，在图论中通常称之为边。结果就得到问题的一种抽象表述形式即“图”（graph）：
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图4-2 从欧拉的哥尼斯堡地图抽象得到的基本图
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欧拉获得的重要观察结果是，一个与陆地相对应的顶点，除非作为散步的起点或终点，否则就必然会放射出偶数个顶点。原因很简单：因为每一条边即每一座桥只能走过一次，对于每一条进入顶点的边，一定有一条离开顶点的边与之相对应。因此，有奇数条边交于其上的各顶点即有奇数度的顶点必须是散步的起点或终点。现在看一下这个图，你就能迅速确定，所有4个顶点都是奇数度（顶点C、B和D是3度，A是5度）的。因为一次行走只能有一个起点或终点，欧拉于是自信地断言，哥尼斯堡人要求的那种散步方法是不可能的。作为一个真正的数学家，欧拉继续提出并解决了一个形式更为一般的桥问题，从而显示了数学抽象的力量。“以上述论证为基础，我为自己提出了如下经过推广的问题，”欧拉写道，“给定一条河流及其可能分出的支流的构形，同时给定桥的数目，确定是否可能走过每座桥仅仅一次。”
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几乎整整200年之后，瓦佐尼试图把哥尼斯堡七桥问题推广到更复杂的具有无限多个边和顶点的图。欧拉未能做出这一推广，也许是因为无限的概念一直到19世纪末才由康托尔赋予精确的数学形式。在他们第一次会面的时候，爱多士已经向瓦佐尼介绍了康托尔的无限集理论，这个学科深深地吸引着爱多士，以至于为了表达对伟大的康托尔的崇敬，他喜欢在给别人的信上写上“C.（康托尔）与你同在”。瓦佐尼已经解决了无限哥尼斯堡桥问题的一半——他已经发现了存在这种走法的必要条件，但它们并不充分。“我过去习惯于每天与爱多士见一面，那天却犯了一个致命的错误：把我的发现通过电话告诉了他，”瓦佐尼回忆，“我说致命是因为20分钟后他给我回电话告诉了我充分条件的证明。‘真该死，’我想，‘现在我得与他写一篇合作论文了。’”瓦佐尼确信，如果再多给他一点点时间，他就应该能够自己发现问题的解。然而回想此事，他倒为自己未能独立发现问题的解而感到高兴，因为在数学世界里，会有贵族的标签贴在那些与爱多士合写过论文的人身上。但是即使在爱多士出名之后，他对解题的热望以及在解题时表现出来的敏锐头脑，也引起了那些热衷于单独研究的数学家们的忌恨。稍后我们会看到，曾经有一个事件引发了一场争论，这场争论将引起数学界的分裂并给爱多士的学术生涯留下伤疤。
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与爱多士合写论文可能会有超越数学世界的结果。1935年，图兰与爱多士合写了一篇有关数论问题的论文，发表在俄国的《托木斯克数学与力学研究所通报》上。10年以后，在战后的布达佩斯，有一次图兰被一个苏维埃巡警拦住了。斯大林命令他的解放者们在大街上随机地把男人们拘起来，用船运到某地去做苦力。士兵命令图兰出示证件。几天前躲避另一次围捕时图兰就已丢失了身份证，但当他把手伸进手提箱时发现了一份与爱多士合写的论文。图兰把这篇论文交给这个士兵，这个士兵知道图兰在苏维埃出版物上发表过文章后颇受震动，于是让他走了。后来图兰把这事作为“数论的惊人应用”一本正经地向爱多士做了汇报。
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由埃丝特·克莱因提出的一个小小的数学之谜导致了另一个意想不到的超越数学的结果，而这个结果将改变她和塞凯赖什的一生。“我确确实实记着这个瞬间，”埃丝特在做出这一发现60年之后说，“我正在家里坐着——我们有一套简单的房子，我和父母住在一起。我有一个角落可以坐下来思考并研究数学。”她正在一块垫板上画几何图形——用直线连接一些随机的点，正在这个时候，她注意到了某种困惑了几何学家们2 000多年的东西。
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为了能够理解埃丝特的发现，我们将不得不暂停片刻来看看几个非常简单的定义。多边形，当然是由直线构成的封闭平面图形——设想一块由边界围住的不规则田地。数学家们把多边形分成两大类：一种是凸的，另一种是非凸的。凸多边形是没有“凹陷”的简单多边形。从数学上讲，可以用两种等价的方式来给凸多边形下更精确的定义。第一种是说，从图形内部测量，由凸多边形两条毗邻的边形成的角小于180度，这就是所谓“没有凹陷”的好听的说法。凸多边形也可以撇开角度概念来定义：连接凸多边形内部任何两个点的直线总是全部落在多边形内（参照图4-3）。如果一个多边形是非凸的，则连接图形内部某些点对的直线将会穿过边界并离开多边形（参照图4-4）。
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图4-3 凸多边形