1705580425
1705580426
1705580427
1705580428
1705580429
图4-4 如果一个多边形是非凸的，则连接图内某两点的直线会穿过边界，越出图形
1705580430
1705580431
埃丝特注意到，如果她在垫板上随机地画5个点，只要任何3点都不在同一直线上，那么其中总有4点构成一个凸四边形（有4条边的凸多边形）的顶点。总是如此！这个奇怪的现象使她感到迷惑。作为一个出类拔萃的问题解决者，她意识到这断言需要证明；仅仅是举出一个例子又一个例子是不够的。她并未花费太长时间就发现了如下的简单证明。
1705580432
1705580433
埃丝特以构造这5个点的“凸外壳”来开始她的证明。所谓凸外壳就是可以画出的最小的包含所有这些点的凸图形。设想在所有点之外围上一个套索，然后将它收紧（参照图4-5和4-6）。绳索将会被阻挡在最外围的点上，因为绳索是围在这些点的外部，它不会有任何凹洞。
1705580434
1705580435
1705580436
1705580437
1705580438
图4-5 凸外壳可通过围住一组点形成
1705580439
1705580440
在最简单的情况下，套索围着4个点。如果这种情况发生，我们已经成功了，因为这4个点确定了一个凸四边形（图4-6）。
1705580441
1705580442
点也可能以如下的方法来排列，即套索围住所有5个点。在这种情况下，我们要做的是连接两个对角线点，如图4-7中的B和D。四边形ABDE显然是凸的。
1705580443
1705580444
1705580445
1705580446
1705580447
图4-6 如果凸外壳形成一个四边形，就成功了
1705580448
1705580449
1705580450
1705580451
1705580452
图4-7 如果这个凸外壳是五边形，则连接两个顶点总能够产生一个凸四边形ABDE
1705580453
1705580454
唯一剩下的可能情况是，点以这样的方式来排列，套索只能围到其中的3个。(5)可以证明在这一情形下我们也不难找到一个凸四边形。
1705580455
1705580456
过三角形内部两点A和B画一条直线。显然，三角形必有一条边位于此直线的一侧。在我们的图形中这些点就是D和C。你能看出四边形ABCD是凸的。
1705580457
1705580458
1705580459
1705580460
1705580461
图4-8 如果这个凸外壳是一个三角形，可以画出一个凸四边形ABCD
1705580462
1705580463
Quod erat demonstrandum.我们成功了。我们已经分析了5点的每一种可能的排列方式并证明了每一种排列方式是如何包含一个凸四边形的。
1705580464
1705580465
对埃丝特来说，这个证明简直是“像儿戏一样简单”。她认识到，有意思的是：“这是一种新问题。我想那就是它的真正价值。”埃丝特难题把几何学与组合学结合了起来。组合学是与计数有关的数学分支。爱多士可能是20世纪最重要和最多产的组合学家，其厚厚的有关此学科的经典论文集名叫《计数的艺术》（The Art of Counting）。在爱多士之前，组合学只是一堆为数不多和互不关联的技巧与问题。伟大的数学家偶尔会涉猎组合学，但他们大部分的精力花费在其他领域之中。在这个世纪里，多亏爱多士，这个学科才作为一个有自己的权利、自己的教科书和期刊及国际会议的数学领域而出现。组合学对通信网络及计算机设计也很重要，而且几乎在科学技术的每一个分支中都有应用。爱多士在这些领域的影响尽管间接但却是巨大的。例如，已经有了专门研讨爱多士对计算机科学的兴趣的会议，尽管他从未写过一篇与计算机有关的论文。他也是贝尔实验室数学小组备受尊敬的常客，尽管他从未写过一篇有关通信网络的论文。对爱多士来说，研究组合学也像所有其他的兴趣一样，是为数学而研究数学。爱多士对这个领域的兴趣正是从埃丝特的问题开始的。
1705580466
1705580467
埃丝特把她的难题带到无名氏雕像下说给她的朋友们听。他们很快地解决了这个问题并推广到一般情形。在经过一番努力之后，他们证明了，当9个点随心所欲地散布在平面上，必然会出现一个凸五边形。如果有足够多个点，那么凸六、七、八或其他边数的多边形也是必然的吗？如果是这样，确切地说在每种情况下需要多少点呢？这些是更难的问题，显然已不可能有“像儿戏一样”的解法。爱多士和塞凯赖什都立即被这个问题迷住了。像埃丝特一样，他们也看出来这是一类新问题。但塞凯赖什回忆说，他还有另一个与几何学或组合学无关的更深层次的动机。“我没有其他的感觉，我想解决这个问题，因为它是埃丝特提出来的。”他后来回忆说。塞凯赖什认为，爱多士对这个问题的兴趣也是受了对问题创造者的更深层次和更人性化的兴趣所激发。“我确信，如果有人提出这样的看法，他将会表示强烈反对，但那并不意味着这种看法不对。”塞凯赖什说。
1705580468
1705580469
爱多士一直特别喜欢埃丝特，他爱怜地称她为埃泼西，即他常用的数学式昵称“埃泼西龙”的缩写形式。更重要的是，爱多士的母亲认可埃丝特并欢迎她到家里来。“我非常相信，如果爱多士娶了埃丝特，这个老妈妈一定会非常高兴，”塞凯赖什猜测，“据我看，埃丝特曾有过让爱多士结婚的绝佳机会。但是这很复杂。没有发生此事对这个世界来说也许更好些，因为他能够真正地把自己投入到数学中去。”
1705580470
1705580471
当爱多士想让塞凯赖什去听一个新的证明或猜想时，他就会像吟诗一般哼道，“塞凯赖什·乔，快开动你聪明的头脑，”乔是其名字乔治的缩称，塞凯赖什总是以此在数学论文上署名。在埃丝特提出其推广的问题两周之后，塞凯赖什终于获得了一次反击的乐趣，命令爱多士：“E. P.，快开动你聪明的头脑！”他发现了一个巧妙的方法来证明他们的猜想——当足够多的点随机地散布在平面上，则必然会形成一个具有特定边数的凸多边形。
1705580472
1705580473
为了证明他们的猜想，塞凯赖什已经重新发现了一条定理，而他自己却没有意识到。这条定理于1928年已由一位博学多才的英国青年弗兰克·拉姆齐（Frank Plumpton Ramsey）发表。拉姆齐生于1903年并在英格兰的剑桥长大，他是莫德林（Magdalene）学院院长、数学家阿瑟·拉姆齐（Arthur S. Ramsey）的儿子。弗兰克的弟弟是坎特伯雷的大主教。在其短短的一生中——他在27岁生日前一个月死于慢性肝功能紊乱——拉姆齐仅写了少量的数学、哲学及经济学论文，而其中多数都成为经典。
1705580474