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爱多士立即写信给塞尔伯格，提醒他，当他们谈到用塞尔伯格的基本公式去证明素数定理时，“你对成功是非常怀疑的，事实上，你说过你相信可以证明，基本引理［即爱多士从图兰那里得知的塞尔伯格的基本公式］不能推出素数定理……如果你能够告诉我［你所知道的一切］，我肯定当场就会完成素数定理的证明”。塞尔伯格的迷魂阵当时并未能使爱多士泄气，而现在却成了逆火。人们不可能来评判，如果没有爱多士开路，塞尔伯格是否一定能找到素数定理的证明。但有一点是清楚的，即爱多士将塞尔伯格的误导当了真，他确实以为他在解决一个已被塞尔伯格否定了的问题中起到了关键作用。
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“我完全不同意仅发表［中间结果］的想法，”爱多士继续写道，“并如以前一样强烈地感到我完全有权在一篇合作论文上署名。”当他意识到，他已不可能指望塞尔伯格同意发表合作论文时，爱多士建议发表一篇他自己的文章，公布“我们的简化证明，当然给你应享有的全部荣誉［指出通过我的某些想法与定理，你首先得到了素数定理］”。为了防止对各人贡献的无意曲解，爱多士写道：“当然，我将乐于首先将这篇文章寄给魏尔，如果他愿意劳驾一阅以证明我对你是真正公正的。”
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数学家们最后同意塞尔伯格将其论文投给有威望的《数学纪事》（Annals of Mathematics），而爱多士的文章则投到《美国数学会通报》（Bulletin of the American Mathematical Society）上。使人吃惊的是爱多士的文章被《通报》拒绝了，可能是由于魏尔的意见起了作用。
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魏尔在1948年2月给论文审稿人的一封信中写道：“我提出异议，爱多士是否有权发表公认是塞尔伯格的东西……我确实认为爱多士的行为是不讲理的。如果我是责任编辑，我就绝不怕拒绝他这种形式的文章。”当爱多士得知文章被拒绝之后，他立即将其改投《全国科学院学报》（Proceedings of the National Academy of Sciences），并被接受发表了。
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50多年来，关于素数定理初等证明的争端一直是数学界的传闻和猜测的一个热点。直到爱多士去世以后，有关的档案才得以公开供人查阅。它们揭示的是这样的故事，其中既无英雄，亦无败寇。实际上，这个故事突出地反映了数学研究方式的重大转变。
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20世纪以前，数学的合作可以说是凤毛麟角，那个时代的重大结果绝大部分都只与一个人的名字有关。而今天，联名的定理已不足为奇。同样的倾向在所有的科学领域都能看到，这可能是由于科学界规模的急剧膨胀——过去的绝大多数科学家至今还活着——以及交通与通讯的日益便利。不管是什么原因，总还有一些科学家宁愿单干，保持着他们的想法直到完善圆满为止。有些科学家的大脑永远是敞开的，而另一些科学家则总是紧闭着。为了保证能独自证明费马大定理，怀尔斯一个人关在他的顶楼里工作了7年，即使是对最亲密的同事，他也未透露自己在干什么。这或许是他从爱多士与塞尔伯格的故事中吸取了教训。
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数学家们所下的赌注也将使他们把关于优先权的战斗继续进行下去。“数学的荣誉，”哈代写道，“如果你愿意为它付账，那将是一种最可靠、最稳固的投资。”数学真理是永恒的，超越文化的。毕达哥拉斯与欧几里得的一些定理在今天仍然与他们被创造出来时同样地新鲜与受到关注。“当埃斯库罗斯(3)被人们遗忘时，阿基米德会依然被铭记，”哈代写道，“这是因为语言会失去生命力，而数学思想却能够永葆青春。”正如爱多士喜欢说的那样，数学是流芳百世最可靠的途径。对于爱多士来说，与人分享的流芳百世仍然是流芳百世。归根到底，全部数学都是合作的成果，因为按牛顿的话来说，所有数学家都是站在巨人的肩膀上。（曾与爱多士一起工作过的卢森特技术学院的一位数学家温克勒尔［Paul Winkler］喜欢诠释牛顿的语言，他把这句话改说成：“如果我能够看得远一些，这是由于我站在匈牙利人的肩膀上。”）
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1950年，由于素数定理的初等证明及著名的塞尔伯格筛法的发展，塞尔伯格获得了诺贝尔奖的数学版菲尔兹奖（Fields Medal）。菲尔兹奖每隔4年颁发一次，最多4个数学家被授奖。爱多士赞成这一做法：“只要（每4年）都有2个或最多4个菲尔兹奖章，就不会有人真正感到生气，即使他自己没有获奖，只要是优秀的数学家得到了它就行。”1952年，由于素数定理的证明，爱多士获得了与菲尔兹奖荣誉相近的柯尔奖（Cole Prize）。
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虽然从未公开说起过，但爱多士在与塞尔伯格的冲突中却感到受了伤害。爱多士总是毫不犹豫地乐于与别人分享发现的荣誉，并且常常将自己的贡献降到最低限度。但一家匈牙利杂志上登载的他与老朋友奥尔帕尔的长篇访谈清楚地表露了爱多士的感情：“在1948—1949年，我最重要的贡献是给出了素数定理的初等证明……同时，一个挪威裔美国居民塞尔伯格也获得了类似结果。”在40年后的这次追述中，塞尔伯格的作用变成了一个脚注。即使在今天，这个证明在匈牙利仍被称为爱多士-塞尔伯格证明，而在普林斯顿则叫作塞尔伯格-爱多士证明。
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素数定理初等证明只是一颗昨夜星辰，现在它本身已差不多成为一个脚注了。这个证明很美，但并没有产生如哈代所预料的革命性效果。没有哪本书因此要被抛弃，也没有一种理论因此而需要重写。尽管黎曼的ζ函数与素数定理之间有着密切的联系，但初等证明并未能阐明黎曼猜想的神秘。“回顾一下，这并非数学中如此重要的作品，”作为同是爱多士与塞尔伯格亲密朋友的内桑森说道，“一些匈牙利人到处说塞尔伯格不应该获得这个菲尔兹奖……而爱多士才应该得到它。这种说法显然是无聊的废话。这对塞尔伯格与爱多士都是不公平的，因为除了素数定理的初等证明，他们两人在其他方面都做了非常重要的工作，他们中的任何一个都可以轻易地摘取菲尔兹奖的桂冠。”
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素数定理的初等证明是爱多士童年梦想的实现，同时也是他一生中最痛苦的插曲的起因。据朋友们回忆，爱多士有时感叹道，塞尔伯格的偶然事件永远剥夺了他在研究所中的一个位子，塞尔伯格将在那里度过一生的其余时光，而他却在全世界流浪了40年，既没有职位，也没有家庭。这肯定是夸张的说法，但多少也反映了一些事实。1948年，爱多士抑郁地离开了美国，这是10年来的第一次。他还会回来的，但不会在任何国家再度过这么长的时间了。
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(1)魏尔（Hermann Weyl，1885—1955），德国数学家，因纳粹迫害，移居美国，任普林斯顿高等研究所研究员，美国科学院院士。——译者
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(2)狄利克雷（P. G. L. Dirichlert，1805—1859），德国数学家，柏林大学、格廷根大学教授，解析数论的创始人。——译者
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(3)埃斯库罗斯（Aeschylus），古希腊悲剧作家，有“悲剧之父”之称。——译者
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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第九章 山姆、乔和保罗叔叔
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在美国的10年里，爱多士从未放弃过有朝一日回到匈牙利的希望。他关于山姆与乔——爱多士语言对美国与苏联的称呼——行径的观察，使他对这两个大国都不信任。在他居留美国的10年间，爱多士并未采取任何步骤去获得美国公民资格。在那些年代里，爱多士从未想方设法去更换他的学生类签证。因此1948年当他想离开美国到欧洲包括匈牙利旅行时，就碰到了非常头痛的行政麻烦。最后，爱多士总算获得了一张必要的绿卡，这使他能自由地往返美国。
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他旅行的第一站是荷兰。在那里他与荷兰的第一流数学家一起就组合论、数论与分析方面的问题进行了合作。在阿姆斯特丹，他碰到了早在布达佩斯就已认识的一个年轻数学家奥尔弗雷德·雷尼（Alfréd Rényi）。在布达佩斯知识分子的小圈子里，爱多士是通过他的父母知道雷尼的，他们与雷尼一家相识多年。在大学里，爱多士的父母听过雷尼的外祖父、哲学家与文学评论家亚历山大（Bernat Alexander）所开设的美学课。雷尼的父亲是一个工程师，他的儿子得到了他家庭所赋予的两方面的才能与兴趣。雷尼是希腊古典语言与哲学的优秀学生，他对天文学也很着迷，这就很自然地引导他去攻读物理，而最终落脚于数学。
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1939年，当雷尼高中毕业时，他成了种族歧视法规的受害者。按这一法规，犹太人进入大学的人数受到限制。为此他在甘茨造船厂劳动了半年，直到他在希腊文与数学方面均赢得名次后，他才被允许进入大学。雷尼跟图兰一起学习数学，后来在这一领域中成了名。
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1944年毕业后，雷尼被拘留从事强制性劳动。在他所属的一群人被撤到西部之前，他设法逃出了劳动营，并利用假文件住在布达佩斯。按照爱多士的说法，雷尼是一名抵抗运动的英雄，他从箭十字党（Nyilas）——匈牙利的纳粹分子，他们折磨和屠杀了布达佩斯与西部地区成千上万的犹太人——手中救出了许多可能的受害者，为此他曾大胆地用箭十字党的制服来伪装自己。“在那些日子里，无论什么时候遇见他，”图兰写道，“我都对他的镇定自若与机智勇敢感到惊奇。”正是在这样的情况下，雷尼完成了他在塞格德大学的博士学位。这所大学位于离布达佩斯不远的一个镇上，是匈牙利第二大的大学。1946年，雷尼的生活已趋于安定，这使他能前往列宁格勒，在那里平静地工作与研究了8个月之久。图兰写道：“他在这几个月中的进步（这是他一生中第一次可以完全集中精力于数学）是非常惊人的。”他只懂得一点点俄文；却领会了顶尖数论学家维诺格拉多夫与林尼克（Yuni Linnik）工作的实质；掌握了概率论，这将成为他最重要工作的基础；并撰写了一些突破性论文。图兰写道：“靠着坚强的意志，他已从记忆中抹去了战争年代和劳动营苦难生活的阴影，用他年轻旺盛的精力与特殊的理解天赋全力以赴地投身于他的工作。”
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在1948年，爱多士遇到雷尼时，雷尼已不再是一个前途有望的学生，而是一个成名的数学家了。他的名声主要来自他对数学中最大名鼎鼎的难题之一哥德巴赫猜想所取得的惊人进展。
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1742年，一位名叫哥德巴赫（Christian Goldbach）的德国数学家给欧拉写了一封信，信中提出了一个猜想：每一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和，例如：24=19+5及72=19+53。从表面上看，这猜想似乎是足够合理的，并且几乎是显然成立的。总之，每一个偶数都可以用很多不同的方式表示为两个素数之和，而每一个大于2的素数都是奇数。人们很容易会想到去寻找一个反例。但是不管用了多少笔算的与电脑的时间——直到1993年，4×108之内的偶数都已被检验过了——始终未能找出一个反例，也没有人确信可能找到反例。爱多士喜欢指出，实际上，这一猜想已先由笛卡儿比哥德巴赫大约更早100年提出过。“但我认为哥德巴赫猜想的名字仍应保留，”爱多士解释道，表明了他强烈的公正感，“首先，哥德巴赫写给欧拉的信使这一猜想获得了普及。同时，哥德巴赫是那样贫穷，而笛卡儿又是那么富有，这很像是要从婴儿手里抢走一块糖果。”
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在过去的两个半世纪里，哥德巴赫猜想已被证明是一块难咽的糖果。哥德巴赫猜想的奇数版是说，每一个大于或等于9的奇数总是三个素数之和；这一猜想已由维诺格拉多夫在1936年部分地解决了。(1)爱多士总是回顾起他的朋友乔治·塞凯赖什与埃丝特·塞凯赖什结婚的日子，因为这是他得知维诺格拉多夫证明的次日。但是关于偶数的猜想仍未解决。根据数学家公认的但有时不太可靠的直觉来看，这一猜想将在历史上存留很长时间。但在1947年，雷尼证明了每一个偶数均可以表示为一个素数及一个殆素数之和，这一结果使哥德巴赫猜想的证明变得可望而仍不可即。这里所谓殆素数是指只有很少素因数的数，“很少”一语可以在数学上弄精确。雷尼的结果后来被陈景润改进为每一充分大的偶数可以表示为一个素数及一个最多有两个素因数的整数之和，这不是真正的素数而是最靠近素数的数。
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雷尼是爱多士最重要的合作者之一。直到他1970年英年早逝，雷尼已与爱多士合作写了32篇论文。雷尼去世时，离49岁生日还差几个星期。在他们长期合作的过程中，无数杯的浓咖啡是他们共同的燃料。咖啡因是世界上绝大多数数学家选择的药物，而咖啡则是提供咖啡因的最佳来源。雷尼无疑非常嗜好蒸馏浓缩咖啡（espresso），他总结了一条几乎总是归于爱多士名下的名言：“数学家是将咖啡转变成定理的机器。”引理是一种小定理，通常被用来帮助证明一条更为重要的定理。图兰在大口喝完一杯美式咖啡之后，发现了一条推论：“弱咖啡只适合于引理。”
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