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1705581141 当他们在阿姆斯特丹相遇后，爱多士与雷尼在数论方面进行了合作，并合写了一篇关于相邻素数的文章。他们合作的文章最后遍及几乎所有的数学领域，这反映了他们的折中主义。他们两人都喜欢概率论，并将其应用于范围极广的问题之中，这又常常导致了现实世界的应用。他们的纯粹数学发明往往至少具有一种现实世界的应用情趣。例如，他们有一篇文章考虑这样的问题：一个国家n个容量有限的机场，到底要开多少航班，才能使旅客的换机次数不多于1。这个问题可以变成一个纯粹的图论问题，现实世界似乎不会引出形式完全相同的问题，但这些问题所给出的结果却与真正的交通和通信网络问题密切相关。
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1705581143 爱多士-雷尼最有创造性和最影响深远的合作是1959年撰写的归于神秘的标题“随机图论进展”之下的一系列经典论文。他们合写这些论文只是为了满足他们纯粹的数学好奇心，但这些文章可能掌握着解释一大类现实世界现象包括生命起源的钥匙。
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1705581145 1947年，为了证明有关拉姆齐的一条定理，爱多士产生了研究随机图的奇异想法。顾名思义，随机图不是通过细心的设计而是由随机事件来构造的。试想有个神经错乱的土木工程师要决定在哪些城市之间铺设连接道路，他用的方法是投钱币，例如：如果出现正面，则在阿尔巴尼与波士顿之间建一条路，否则就不建。这样偶然得到的道路网络就是一个随机图。爱多士用拉姆齐理论中的随机图去解决一个推广的派对问题——有多少人参加派对才能保证这个派对有N个人互相都认识或N个人彼此都不认识？如我们此前讨论过的，当N为5或更大时，就没有人知道答案是什么了。利用随机图(2)，爱多士发现了一个天才方法，可以求出所需要人数的下限。例如，我们试图确定一个派对究竟要多大才能保证至少有7个客人彼此都相识或7个客人彼此都陌生。爱多士计算了G个客人的随机派对不具有上述性质的概率。如果概率大于0而小于1，那么一个随机选取G个客人的派对的确具有这一性质的可能性就大于0，因为该派对或者具有或者不具有这一性质。例如，如果爱多士的计算已确定了200个客人的派对不具有这样的性质即有7个客人皆互相认识或皆相互陌生的概率为0.99，或者说99%（这个数未必是实际的真正概率）。那么这一集合具有这一性质的机会就是0.01，或者说1%。爱多士的合作者斯潘塞解释道：“这意味着必定——而不是可能——存在具有这种性质的图。”
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1705581147 利用概率论来证明一个数学结果，即如爱多士在1947年文章中所做的那样，完全是新的想法。在爱多士、斯潘塞及其他许多数学家手里，概率方法——经常被称为爱多士方法——变成了一个解决以往难以处理的问题的有力工具。斯潘塞承认：“它有一种魔术般的魅力。”创造了概率方法的爱多士就像是一个魔术师，他向读者证明了他的帽子里有一只兔子，然后就转身去变新的戏法。扯起耳朵把小兔子提出来是举手之劳，爱多士把它作为习题留给别人去做。
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1705581149 爱多士帽子里的兔子常常被证明是对现实世界问题的解答，诸如电脑设计与信息网络。爱多士的概率方法保证了解答是存在的，但要具体找出解答来，那又是另一回事了。已经知道一堆干草里藏着一根针，这并不意味着翻动每一根干草去找针的办法是实际可行的。为了保证能在合理的时间内把针找出来，必须发明某些技巧，例如用磁铁来吸针。在数学中，这种技巧称为算法——解决问题的系统过程，这经常需要用电脑来完成。斯潘塞说：“最近20多年来一个非常有趣的话题就是所谓‘从爱多士到程序’。”从20世纪70年代以后，理论计算机科学家与数学家已发展了一套方法，将爱多士的柏拉图式思考转变为可以解决现实问题的算法。爱多士也是图论与组合理论的先驱，这两个数学领域一度被看成一潭死水，但现在已成为计算机科学的主要工具了。爱多士本人并未接触过计算机；当因特网变成数学文化的重要部分时，他常常要朋友帮他收发电子邮件。斯潘塞说：“讽刺的是，他对理论计算机科学的发展却有如此巨大的影响。”
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1705581151 贯穿爱多士许多工作的一个主题是有序与混乱之间的微妙关系。对这一主题最清楚的陈述可在他关于拉姆齐理论的著作中找到，拉姆齐理论表明完全的无序是不可能的。1959年，爱多士与雷尼通过寻找混乱的随机图中的有序现象来研究这一问题，随机图是有意构造的无序结构。使他们感到惊奇的是，即使在最随机的情况下，有序的结构仍会自发地产生出来。
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1705581153 爱多士与雷尼分析的情况是前面提到的土木工程师狂想曲的变奏。假定土木工程师现在的任务是要修筑连接一大批（譬如说10 000个）城市的道路。他首先忽略距离，随机地选择两个城市并在它们之间筑一条路。然后再随机地选择两个城市并筑另一条路。工程师按这一方法进行下去，但当两个城市之间已经有路连接，就不再在它们间筑路。
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1705581155 起初只有少数城市之间有路相连，但当工程师逐渐加筑一些路后，就会形成一些小的相互连结的城市圈。生活在这些圈中的人可以沿一系列路驱车到圈内的其他任何一个城市去。爱多士与雷尼发现，开始时出现的城市圈是小规模的和分散的。当工程师加修了更多的路时，圈的规模将缓慢地变大，圈中的城市更多地相互连接起来。直到路的条数增加到使半数城市连接起来之前，情况尚无太大变化。但此后，只要再添加极少数几条路，奇迹就会突然出现。很多原先孤立的圈子将会变得相互联结而形成一个几乎包括了所有城市的巨大圈子。
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1705581157 由各个孤立的小圈向单个大圈的迅速转变在许多自然现象中有惊人的类似。例如，水的突然结冰或交通的堵塞。这类现象，即所谓的相变，长期以来一直使科学家们迷惑不解。爱多士与雷尼出于纯粹的数学好奇心而进行的随机图研究，提供了一个可以阐明相变机制的简单模型。“这篇文章开辟了整个领域，”爱多士的弟子斯潘塞评论道，“回过头来看看，你就会明白，所有的发展都源于这样一个想法，即随机地增加边之后会发生什么。”自从爱多士与雷尼关于随机图的文章发表以来，已有数百篇其他文章、众多专著以及国际会议致力于这一领域的研究。
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1705581159 作为纯粹数学家，他们并不是完全不了解他们研究的应用意义。在他们的原始论文中写道，研究随机图中结构的突然变化“不仅仅是纯粹出于数学上的兴趣。实际上，图的变化可以当作一国或其他某个单位的一个交通网络（铁路、公路或电子网络系统等）大为简化的模型……似乎可以这样说，通过对较复杂结构的随机增长的考虑，我们可以得到复杂的现实增长过程的相当合理的模型（例如，由不同类型的联系组成的复杂交通网络，以及甚至生命的有机结构，等等）”。
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1705581161 40多年之后，这一论点被证明是非常有远见的。圣菲研究所的考夫曼（Stuart Kauffman）很大程度上依赖随机图的演化建立了他那令人信服的生命起源理论。在考夫曼的模型中，生命起源于混乱的原始分子群，这与爱多士-雷尼随机图的演化模型中“圈”（cluster）的出现有着相同的必然性。
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1705581163 考夫曼开始想象有一锅随机的分子汤，即某种化学混合物，类似于科学家们在实验室里对地球形成早期的状况所做的模拟。这锅汤里可能包括一些随机的分子对，借助于被称为催化剂的第三个分子，它们可以相互结合起来形成一个新分子。这些新分子又将找到各自的舞伴，借助于另一个催化剂，用类似的方法产生另一个分子。如果运气好，那么这一过程就可以不断地进行下去，即新的分子可以找到它的同伴及适当的催化剂，如此等等。其结果是一个很长的相互作用的分子链。如果更走运，这条链将绕回它自身，就像一条蛇用嘴咬住自己的尾巴一样，形成自持的化学反应网，即一个封闭的化学系统，换而言之，即生命。
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1705581165 这样一个复杂而自持的化学反应网络——考夫曼称之为自动催化网络——的出现依赖于一系列纯粹偶然的运气，因此似乎不可能发生。但考夫曼注意到可能的化学反应网络与一个随机图很相像，只要将分子看成端点而将催化反应当成边。考夫曼证明了正如一个只有相对少的边的随机图可以经历从不相连到相连的相变一样，一团随机的化学混合物也可以经历由不相关的分子到生命系统的跃变。“最大圈的尺寸的突然改变”，在一个随机图中，考夫曼写道，“我相信就是导致生命起源的那种相变的有趣模式……当一个化学反应系统中有足够多的反应被催化，就会突然形成一个巨大的催化反应网。这样一个网几乎肯定是自动催化的——几乎肯定是自足的，活性的。”随机图演化的数学证明了表面上看来不可能的自动催化系统的出现事实上是不可避免的。有了足够多的分散的分子，“一个自复制的化学系统……就可能突变为生命存在”。
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1705581167 在阿姆斯特丹消磨了几个月后，爱多士于1948年12月回到了布达佩斯，这是10多年来第一次由教育部为他的签证做出特殊安排，使他能获准再度离开匈牙利去西方。爱多士说：“在当时，这是一个例外的处理。”爱多士惊喜地发现他的许多亲密朋友在纳粹屠刀下虎口余生。当然，爱多士在美国已见过图兰。现在他很高兴能与曾在布达佩斯城市公园无名氏雕像下认识的一些年轻数学家，如高洛伊、奥尔帕尔——作为一名政治犯其行动受到限制——及其他人重新相聚。但对爱多士来说，最大的欢乐是又能跟他的母亲在一起了。他后来愉快地回忆说：“在我们的老家里，我找到了我的母亲，她看来精力充沛，身体健康。”但重逢的欢乐由于众多的亲友遭受纳粹的迫害以及父亲的去世而被大大冲淡。在他最亲密的六七个亲人中，只有他母亲和一个姑母幸存下来。
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1705581169 爱多士也因日趋恶化的政治形势深感苦恼。和同他绝大多数童年时代的朋友一样，爱多士是一个自由主义者。对他来说，“自由主义”的意义主要就是指对平等的强烈信念，对人性与个人需求的永久关注。这些原则与对政治权力的深刻怀疑结合在一起，使爱多士与山姆及乔都终生不和。从1949年开始，乔进行了一系列恐怖的公开审讯。如果说爱多士当初曾怀有回匈牙利的良好愿望，他很快就改变了主意。“因为政治局势的新变化，我感到远离匈牙利是明智的。”在对布达佩斯访问了3个月后，爱多士收拾起他那简单的行装，重新踏上了漂泊的旅途。爱多士最大的担忧很快就被证实了，几个月后他的朋友奥尔帕尔再次被捕。这次是由于他与内务部长拉伊克（László Rajk）有牵连。拉伊克在第一批公开审讯后即被当作间谍处决了。奥尔帕尔在一个铜矿里艰苦劳动了4年，直到斯大林死后的解冻期，他才重获自由。
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1705581171 在此后的几年里，爱多士将他的时间分别花在美国与英国，靠借债和短期讲学的酬金度日。1950年，在布达佩斯召开了所有共产主义国家的数学家参加的大型数学会议。因为害怕来访后不允许他离开匈牙利，爱多士在匈牙利的朋友们没有给他发邀请，尽管爱多士的老师与朋友费耶尔将被授予荣誉。同年，按苏联模式建立了匈牙利数学研究所，以雷尼为所长——他担任这一职务直到1970年去世——这个研究所后来成为东欧国家的一个数学领导中心和爱多士在东欧最重要的避难所。
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1705581173 1953年，美国看来将成为爱多士的永久居住地了。位于印第安纳州南本德的圣母大学数学系主任罗斯（Arnold Ross）邀请爱多士去工作一年，条件优厚。罗斯只安排爱多士教一门高级课程，并给他安排了一名助手，当他不得不外出旅行时，助手会给予帮助，接替他上课。
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1705581175 爱多士自称是一个无神论者。他在圣母大学的朋友喜欢嘲弄他居然到一所罗马天主教大学工作。“他很认真地说他非常喜欢待在那里，”他当时的一个同事亨里克森（Melvin Henriksen）回忆道，“他对于跟‘牧师’一起讨论特别感到愉快。”只有一件事使他感到烦恼，“这儿加号(3)太多了”，爱多士莫名其妙地评论道。
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1705581177 亨里克森喜欢回忆他仅有的一篇与爱多士合作的论文是怎样产生的。亨里克森与吉尔曼（Leonard Gillman）一起在搞拓扑学方面的一个问题，这是爱多士没有兴趣的一个领域。在研究过程中他们偶尔碰到了一个集合论问题，而在集合论这一领域爱多士已是公认的权威，于是他们便带着问题去找爱多士。爱多士很快地解决了这个问题，从而使他获得了又一次合作机会。当这两个拓扑学家企图向爱多士解释他们问题的背景时，他听得眼睛都直了。亨里克森说道：“我常常说爱多士并不了解我们的论文，但他却做了困难的部分。”这篇文章成了非标准分析这一领域的开创性工作之一，而按照不公正的字母排名法，它常常被归功于爱多士等人。
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1705581179 在圣母大学待了一年之后，罗斯以同样优厚的条件延长爱多士的聘约，爱多士似乎不可能拒绝这一聘任。但据亨里克森回忆，爱多士却彬彬有礼地谢绝了罗斯的邀请。他的朋友们认为他发疯了。他们问他：“保罗，你作为一个旅行数学家的生活还能维持多久呢？”不用怀疑，他的答复是，还有40多年。不过，爱多士是否决定留在圣母大学很快被证明是无关紧要的了，一个叫约瑟夫的人使爱多士改变了他的整个计划。
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1705581181 参议员约瑟夫·麦卡锡歇斯底里的让美国摆脱“红色恐慌”运动当时正达到疯狂的顶峰。1953年6月6日，爱多士第一次尝到了麦卡锡主义不愉快的滋味。当访问住在洛杉矶的一个朋友时，爱多士要用一下电话向在布达佩斯的母亲祝贺73岁生日。爱多士的朋友通常总是替他付长途电话费，至多提醒一下把话说得短一点。但这一次他的朋友却拒绝让他使用电话，不是为了节省，而是出于害怕。他不愿意在他的电话账单上出现打往共产主义国家的电话记录。
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1705581183 拒绝可能是胆小的，但并不全然是愚蠢的。自从1950年通过了麦卡锡的“内部安全法案”后，外国科学家如果希望访问美国，则必须经过带有侮辱性的审查才能获得签证。1954年，《星期六晚邮报》的一个记者为法案辩护道，除非“他是一个真正的坏蛋”，没有一个科学家会被禁止入境。很显然，在美国政府的眼睛里，伟大的英国物理学家，诺贝尔奖获得者狄拉克（Paul Dirac）就是符合这种描述的“坏蛋”。天文学家斯特鲁韦（Otto Struve）愤怒地说，这一错误政策将使美国科学家丧失从狄拉克的访问中获益的机会。他总结道，无论如何，如果狄拉克是一个坏蛋，那么“我们将会毫不迟疑地在家宴桌上添加数打这样的蛋”。
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1705581185 很多科学家不愿去申请美国签证，若遭拒签将导致他们自己的政府给他们戴上“红色”或“粉红色”的帽子。美国科学组织开始将会议挪到国外召开，以便于外国人参加。美国心理学学会希望于1954年在纽约召开心理学国际会议，但最终决定改在蒙特利尔召开，“因为按外国科学家的经验，想要得到这个国家的短期签证将遭遇拖延与麻烦”。不幸的是在美国以外举行会议，像爱多士这样的住在美国的外国科学家同样会遇到问题。
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1705581187 1954年，爱多士希望去参加阿姆斯特丹的国际数学家大会，这是一个每四年举行一次的重要集会。爱多士不是一个美国公民，所以他要再回美国，就必须持有返签。爱多士最近几次离开美国办理返签时，多半是写几封信，做一些官样文章。但这一次，由于约瑟夫·麦卡锡及麦卡锡法案，移民归化局（INS）需要与他作一次面谈。
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1705581189 移民归化局派了一个官员专程从底特律到圣母大学爱多士的办公室来会见他。爱多士对这一番好意表示感谢，但却被随后的会谈激怒了。这个官员告诉爱多士美国对爱多士的活动是密切监视着的。例如他曾与另外至少两人一起在长岛的雷达装置附近游荡而被捕过。而且他曾经与中国数学家华罗庚通过信，华罗庚已于1950年回到共产主义中国。正如亨里克森指出的：“爱多士一封典型的信件是这样开始的：亲爱的华，命p为一个奇素数……”爱多士也给他的母亲写信。为了保住她在匈牙利科学院的工作，爱多士的母亲加入了共产党。根据社会关系定罪是那时的规则，爱多士的许多关系看来对他都很不妙。
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