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[504] 《王制》519a—d，521b。
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[505] 《王制》521e—522a。
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[506] 《王制》522b。
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[507] 《王制》522c—d。
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[508] 《王制》522e1—3。
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[509] 这也是为什么数学成为希腊化时期的将军和君主们喜爱的科学的原因。关于马其顿王安提哥那斯（Antigonus）和德米特里乌斯-波里奥西特（Demetrius Poliorcetes），参见拙著《卡利克勒斯的狄奥克勒斯》，第81—82页。军事角度的数学再次出现在《王制》526b—c。
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[510] 《王制》522e4。
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[511] 《王制》523a： 。译注：“存在的领域（the realm of Being）”，王杨译为“本质的世界”（《理想国》，第261页，北京：华夏出版社，2012）， 被译为“本质”。我们此处译为“存在的领域”，不仅因为英文Being通常译为“存在”，还因为，“本质”一词不能体现型作为一种“完美的存在”的意义。
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[512] 参见本书第一卷，此处 。
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[513] 当狄翁要求柏拉图将僭主狄奥尼修斯二世（Dionysius II）教育成一个哲人王时，他认真地使用了这一教学方案，这背后存在着一种传统。普鲁塔克在《狄翁传》（Dion. ）13中说，有那么一段时间，不仅是统治者，而且整个叙拉古宫廷都热衷于数学，连空气中都弥漫着在沙子中画图的数学爱好者们扬起的尘土。
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[514] 《王制》527a。
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[515] 《王制》523a2，a6，b1，d8，524b4，d2，d5，e1，525a1，526b2，527b9。
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[516] 《王制》525c： 。
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[517] 《王制》526b。
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[518] 参见本书第一卷，此处 。在《泰阿泰德》145a中，柏拉图将这四门学科也列为公元前400年的雅典青年泰阿泰德所接受的教育的一部分。
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[519] 《王制》530d8。
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[520] 弗兰克（Erich Frank）在其著作《柏拉图和所谓的毕达哥拉斯派信徒》（Plato und die sogenannten Pythagoreer ，Halle，1923）中，进一步将希腊的精确科学追溯至毕达哥拉斯学派。海德尔（W.A. Heidel）追溯了数学研究在早期希腊的发展，在证据许可的范围内，他还追溯了数学研究在非毕达哥拉斯圈子中的发展，尤其是在伊奥尼亚的发展，参见海德尔，《毕达哥拉斯学派和希腊数学》（The Pythagoreans and Greek Mathematics），载《阿姆斯特丹哲学期刊》（Journal of Philosophy ），第61期（1940），第1—33页。
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[521] 《王制》531a5，530d6。
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[522] 《王制》531a1—3，531c。
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[523] 《王制》531c。
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[524] 《王制》530b6。
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[525] 《王制》531c3。
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[526] 《王制》531d。对数学科学制定一种哲学分析的计划及其在柏拉图学园中如何实施的问题，参见索尔姆森，《亚里士多德逻辑学和修辞学的发展》（Die Entwicklung der aristotelischen Lpgik und Rhetorik ），载《新语文学研究》，耶格尔编，第四卷，第251页及以下。
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[527] 《王制》530b。