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顾准历史笔记 老子与古算、周易
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I 老子“正反”的逻辑思想方法，正是结合春秋时科学兴起与发展中的数学概念和周易的推演来的。
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II 周官保氏列九数为六艺之一，而九数的内容，基本上是符合于“作立赋”与实行“初税亩”制的赋税力役时代的需要的。
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保氏掌谏工恶，而养国子以道。乃教之六艺……六曰九数。（周礼，vol. 14）
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九数，方田、粟米、差分、少广、均功输、方程、赢不足、旁要，今有重差、夕桀、勾股也。（上条郑注）（又，校勘记谓，夕桀二字，马注有，郑注无。也有人说是后人据《释文》所加）
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九数者，方田以下，皆依九章算术而言。云“今有重差、夕桀、勾股”也者，此汉法，增之……案今九章以勾股替旁要，则旁要，勾股之类也。（以上孔疏）
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所谓田畴界域、贵贱禀赋、远近劳费、功程积实等演算题材，正是春秋时代的问题。所以郑玄释《周官》九数，直与《九章算术》的一般意义相合。代表古代数学较早的《周髀算经》和《九章算术》，成书可能在战国年代里，但是他们提出“累思”、“精习”，理智“推断”的理论，和“御错柔正负”的方田术，“异名齐一，校其相多”的课分术等，则是述自历史早有的筹策智识。
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汪自注：宋鲍浣之，明朱载堉均称《周髀》为成周旧文，刘徽、李贤注、郑玄传，亦谓《九章》因“周文遗残，各称删补”云云。
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假如这样的了解不错，那么，老子的正反概念，尤其是关于“负概念”的理论对象，当然是反映这一科学思想历史的东西。这就是说，早在周髀九章里所取的同名异名，相反相用的“正负”法，和异位相从，殊形同列的“齐同”法，对于老子“有无同出而异名”的范畴思想方法，理论上是完全一致的。《周髀》《九章》有论“母子合分”、“盈虚相推”的推演形式，“以小推大，损之曰益，益之曰损；屈信相感，寒暑相奸”等基本论式，都与老子论得母知子，知子守母；以及论盈虚、损益、寒热、屈信等相对概念的命辞（命题），形式上极为相合。
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III 无疑，今本《周髀》《九章》的成文，可能有刘徽所谓“演申”的近语，但是所有论正负、同异、奇正、多少、长短、方正、廉隅、盈虚、损益、隐显、强正、弱负、无入、无名等变易相推的策算概念和规则，绝不是什么“近语”，因为这些范畴概念，基本上与《周易》的卦象如否泰、谦丰、损益、剥复、既济、未济等是相合的，而与观象观法的“穷奇偶，备相成，本阴阳，极变化”的易数理论也是相应的。
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老子从科学历史上接受了这些范畴概念的认识，并以之运用到对自然社会及人类思维的认识上，概括出一个适于自然的正反辩证的思维语言的表达形式。这种形式，就是他所谓“正言若反”的思想方法。
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汪奠基：《老子朴素辩证的逻辑思想——无名论》，pp. 39—40
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汪奠基是数理逻辑学家，他着重“负概念”和“正反辩证法”之渊源于古算，是一个极其重大的贡献。以上他也谈到周易，但是他是以周易证《周髀算经》、《九章算术》中一些重要的概念并非“演申”的“近语”，在这里还没有打算研究老子和周易有什么直接关系。直接关系的讨论也有，见下：
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IV 正反相推的道理，本来是古周易所发觉的。老子继承并且发展了这种推论方法。他说“人之所教，我亦教之”。周易创用阴阳翕辟的排列法，概推一切正反相对的矛盾关系，并且从卦序来区分正反的相对性和绝对性，俯仰相次，反复变易。如乾坤离坎的或对、或错、或旁通；如屯蒙需讼的或复、或综、或反易等，既自相对易，亦自相反易，察曲知全，执微会通。老子则教之以：
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“曲则全，枉则直，洼则盈，敝则新，少则得，多则惑，是以圣人抱一为天下式。……古之所谓曲则全者岂虚言哉？诚全而归之。”
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“万物负阴而抱阳，冲气以为和。”
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“柔胜刚，弱胜强。”
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“天之道其犹张弓与？高者抑之，下者举之，有余者报之，不足者补之。”
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“道隐无名。”
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司马迁说“易本隐以之显”。老子的思想方法，正是进一步结合“正反”的形式发挥了这种逻辑推演方法。刘师培在论易卦推演时说：
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“上古之时，数学未明，即以卦爻代数学之用。易爻之分阴阳，犹代数之分正负数也。”
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“系辞所谓阳爻多阴，阴爻多阳，是犹正数负数两不相等，又阴爻可进为阳，阳爻可降为阴，是犹正数之变为负数，负数之变为正数。若夫一卦之中阴阳爻相等，则其象必消，如泰否，既济未济是。”
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老子说，“善数者不用筹策”正是要从筹策发挥推演与心算的作用。否则限于有形的行位关系，必有数舆无舆之感。老子时代的数学认识，虽然还是筹策的计算形式，但是已经很好地认识到量的“正反”，有绝对与相对的概念关系。这就是说，由策算不用负号的形式上，已经知道“负量”并非量的否定，因为在推演过程中，负的本身，始终是正的，同时与相反的“行列”又必须是互相对立的。所以正反关系的表现，同属于同一运算对象的性质所有，老子从科学历史的经验认识上，接受了这些朴素的辩证观点，谓“古之所谓曲则全者，诚全而归之”。……所以认识的方法，必须掌握自然的逻辑范畴——道——即自然的物质规律性的正反概念，来进行推理的活动。……
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在哲学和科学上（包括逻辑），强调“负概念”的理论意义，本来是比较晚出的问题。古代中国自然哲学思想，多源于筹策和易卦的形式认识。阴阳正负的概念，开始就形成了极丰富的推理形式。所以在科学史上，我们祖国先进数学家，本来比西方几乎早过千百年即有“联立方程”与“正负术”的演算成立的——希腊Diophante(1)略有论列，但不及九章远矣，经18世纪Bizout(2)研究后，始有完整的正负术，老子范畴概念的逻辑思想，确实代表了这种先进数学的理论总结，他提出的辩证概念的“无名论”，高度概括出负概念的“无”的存在原理，建立了古代中国最早的辩证思维形式的自然逻辑范畴与逻辑理论。
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（pp. 42—4）
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