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[11]量子场论的微扰展开式有许多微妙的地方。以量子电动力学为例，尽管其耦合常数α很小，从而n圈图的贡献受到αn的抑制，但另一方面，随着圈数的增加，不等价n圈图的数目也在增加，其趋势约为n！（这当然只是非常粗略的说法，圈图的确切数目与相互作用的具体形式有关，且其中还有符号问题，综合的结果非常复杂）。当n接近或大于1/α时，圈图数量的增加将抵消由弱耦合所带来的减弱因子αn的影响，因此量子电动力学的微扰展开式并不收敛，这一点最早是由英裔美国物理学家戴森（Freeman Dyson）于1951年给出的。有鉴于此，所谓单圈图的贡献占了主要部分其实是从渐近级数的意义上说的。
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[12]顺便提一下，庞加莱张力带来的困难除了我们在第四节中提到的非电磁起源外，还有一个更严重的，那就是由庞加莱张力所维持的电子结构虽然具有静态的平衡，却是不稳定的，在细微的扰动下就会土崩瓦解（类似于爱因斯坦的静态宇宙模型）。这是1922年由意大利物理学家费米（Enrico Fermi）所证明的。
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[13]当我们谈到截断的时候，有一点需要提醒读者注意，那就是对于像电子自能这样对截断能标相对敏感的物理量，只计算截断能标以下的贡献显然是不完整的，那么来自截断能标以上的贡献有多少呢？答案是与适用于截断能标以上的理论的具体形式有关。如果那个理论本身也有截断，我们还必须关心来自那个截断能标以上的贡献。物理学家们的期望是，我们最终将会有一个有限的理论，那时我们就不需要用截断来遮遮掩掩了。
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[14]这从简单的量纲分析就可以看出：δm的形式为mf（Λ/m），而从费恩曼图所对应的积分的形式可知其相对于Λ的渐近形式f（x）只能是对数或以正负整数为幂次的幂函数，这其中只有f（x）=ln（x）可以使δm既在Λ→∞时发散，又在m→0时为零。
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[15]学过量子力学的读者可能会进一步问：如果一个量子体系的基态是简并的，那么体系的物理基态难道不应该是这些简并态的某种量子叠加吗？这种量子叠加——如我们在量子力学中所见到的——往往不仅会破除原有的基态简并性，并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。在这种情况下，对称性自发破缺岂不是不存在了？这是一个非常好的问题，答案是：对于有限体系来说情况确实会如此（除非有什么原因——比如对称性——禁止简并基态间的相互耦合）。但在量子场论中通常假定体系的空间体积趋于无穷，这时不同真空态之间的相互耦合趋于零，严格的对称性自发破缺只发生在这种情形下。
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[16]戈德斯通定理也可以从几何上来理解。可以看成是一个N维曲面，真空态对应于该曲面的一个极小值点，而该点处每一个独立的平坦方向（即二阶导数为零的方向）对应于一个无质量标量粒子。另一方面，每一个这种独立的平坦方向对应于一个可以使真空态移到邻近点的连续对称变换。这种连续对称变换所表示的正是被真空态所破缺的对称性。这就表明无质量标量粒子与这种自发破缺的对称性一一对应。另外再补充一点：南部阳一郎曾在1960年提出过类似于戈德斯通定理的想法，但未引起足够重视。
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[17]这里有一个很有意思的问题，那就是既然真正的对称性自发破缺是由量子有效势Veff而非经典势函数V所决定的，那么在经典势函数V不具有简并真空态（从而不会产生对称性自发破缺）的情况下，是否有可能通过体现在有效势Veff中的纯量子效应产生对称性自发破缺呢？答案是肯定的。如果哪位读者独立地想到了这个问题，那么祝贺你了，这说明你有非常敏锐的物理思维能力。如果你同时还具有第一流的理论基础，并且早生几十年的话，就有可能作出一个非常重大的理论发现，那便是1973年由美国物理学家科尔曼（Sidney Coleman, 1937—2007年）与温伯格（Erick Weinberg,1947—）所发现的如今被称为科尔曼-温伯格机制（Coleman-Weinberg mechanism）的对称性破缺机制。
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[18]一般来说，粒子物理学中的规范对称性指的就是“定域”规范对称性。不过在本节中，为突出“定域”所起的作用，我们有时会特意注明。
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[19]用技术性的语言来说，在希格斯机制中对应于戈德斯通粒子的那些自由度可以被定域规范变换所消去（必须注意的是：“定域”二字在这里至关重要，整体的连续变换是不具有这种能力的）。从规范理论的角度讲，这相当于选取了一种被称为幺正规范（unitary gauge）的特殊规范。这种特殊规范的选取造成定域规范对称性的破缺，从而使原本受定域规范对称性所限必须无质量的规范粒子可以获得质量。人们有时把这种机制形象地描述为：规范粒子通过“吃掉”戈德斯通粒子而获得质量。另外要说明的是，这里所介绍的由希格斯等人提出的，被粒子物理标准模型所吸收的其实只是希格斯机制的一种最简单的实现形式——但似乎恰好就是自然界所采用的形式。
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[20]电弱统一理论中的规范对称性破缺方式是SU（2）×U（1）破缺为U（1），由此产生的三个戈德斯通粒子通过希格斯机制使四个规范粒子中的三个（即W±和Z）获得质量，剩下的一个（即光子）则维持了无质量。
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[21]更确切地讲，标准模型中的汤川耦合是形如—λ的项，其中为质量本征态（不同于弱本征态），L与R分别代表左右手征部分，h.c.代表厄密共轭。汤川耦合是费米子场与标量场之间唯一的可重整耦合。
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[22]Gell-Mann将这一模型称为八正道（eightfold way），这一名称取意于佛教术语，所代表的是SU（3）分类模型中的八维表象。
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[23]Ω-粒子于1964年被发现，它不仅量子数与理论预言完全一致，质量也非常接近理论的预期。
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[24]当时盖尔曼是加州理工大学（California Institute of Technology）的教授，茨威格则是该校的研究生，他们虽在同一学校，但提出夸克模型是彼此独立的。夸克这一名称是盖尔曼所取，来自于爱尔兰作家乔伊斯（James Joyce, 1882—1941年）的小说《芬尼根的守灵夜》（Finnegans Wake）；茨威格提议的名字也很幽默，是“Aces”——即扑克牌中的“爱斯”。对茨威格来说，十分苦涩的经历是：同样标新立异的理论，Gell-Mann的文章应杂志编辑的亲自邀请发表在了欧洲核子中心（CERN）的新杂志《物理快报》（Physics Letters）上，而人微言轻的茨威格的文章却遭到拒稿而未能及时发表。茨威格后来转行离开了物理。
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[25]这一点也适用于胶子或任何不处于色单态的粒子组合。不过要注意的是，它的严格数学证明是极其困难的。事实上，它是美国克莱数学研究所（Clay Mathematics Institute）悬赏百万美元征解的七大数学难题之一的“杨-米尔斯与质量隙”（Yang-Mills and Mass Gap）问题的一部分。不过许多物理学家对从数学上严格证明这一点并无太大兴趣，温伯格就曾经表示：“这一点肯定是正确的，因此我和其他一些人一样很乐意把证明留给数学家去做。”
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[26]波利策等人因此而获得了2004年的诺贝尔物理学奖。比他们稍早，荷兰物理学家特·胡夫特也有过同样的发现，可惜没有发表。
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[27]补充说明两点：（1）定义夸克质量所用的重整化方案（renormalization scheme）是。（2）夸克的“轻”和“重”是相对于量子色动力学中的特征能标ΛQCD（约为200～300MeV）来区分的。
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[28]有读者可能会问：既然有U（V）V，是不是也有U（1）A？在经典层次上答案是肯定的，但是在量子世界里，U（1）A会被反常（anomaly）所破坏。
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[29]感兴趣的读者请利用场量的宇称变换性质自行证明与的变换性质与。另外要注意的是，这里所说的矢量、轴矢量、标量、赝标量都是依据时空变换性质区分的，与那些量在SU（2）内禀空间内的变换性质无关。
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[30]由于s夸克也是轻夸克，因此我们的讨论可以扩展至包括s夸克，这是强子分类中存在SU（3）近似对称性的原因——请注意这个SU（3）是“味”对称性而不是“色”对称性。不过由于s夸克的质量较大，SU（3）对称性的近似程度远不如SU（2）对称性来得高。
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