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数据科学家养成手册 [:1700503506]
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3.2.3 高等数学
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数学的分支学科非常多，例如代数学、几何学、解析几何、拓扑学、代数拓扑学、统计学、运筹学等，这里还没有列举它们各自的子学科和交叉学科。我们不能不提到数学的一个非常重要的分支——高等数学。通常认为，高等数学是由微积分学、较深入的代数学和几何学及它们的交叉内容所形成的一门基础学科。高等数学的研究范畴包括极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程等。
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高等数学研究的是“变量”的数学，而初等数学是指我们在中小学阶段学习的四则运算、平面几何、立体几何、函数、不等式等相对“静止”和直观的数学概念。例如，在初等数学中，我们能用公式计算三角形、四边形、圆形的面积。这些计算公式通常是用“割补法”将它们转化成标准的矩形，然后通过长乘以宽的方式进行计算（如图3-7所示）。
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图3-7 平行四边形和圆形面积割补
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求解圆形面积的时候，这种曲线到直线的转化过程已经有一点极限和微积分的感觉了，但理解问题的方式还是一种转化成矩形面积来计算长宽乘积的方式，而用这种方式求解更为复杂的不规则形状的面积是非常困难，甚至是不可解的。
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高等数学研究的范畴就是变化中的表达式所通用的解析解获取体系。
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举个最简单的例子：如图3-8所示，直角坐标系中的两条曲线f(x)=cos(x)和g(x)=sin(x)，与直线x=0围成的不规则图形在之间的面积是多少？这个问题在初等数学里是没有解决方案的。但是在高等数学中，应用极限的思想，我们就能比较容易地获得精确的解析解。
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图3-8 f(x)=cos(x)和g(x)=sin(x)
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从理论上讲，在任意高维的空间中都可以进行这种变化值在极限思想的情况下转换为其他表达式的解析解的方式。那么，任意多维度空间不规则曲面的面积、任意多维度空间不规则体的体积也都可以有精确的解析解了。这种方式为研究现代工业中很多随时间和空间变化的值之间的关系带来了意想不到的收获。
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例如，要想精确地计算炮弹的落点，就必须研究发射距离和装药量、爆炸速度、膛压、炮管仰角、风阻、重力等多个因素之间的关系（如图3-9所示），而这些因素在整个过程中都是变化的，因此需要建立完整的微分方程组来求解。求解的结果是，这种武器在制式化以后，炮兵可以根据当时的风速，通过调整仰角来计算炮弹的精确射程，提高命中率。不过，这么复杂的问题通常需要使用微分方程组才能解决。
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图3-9 炮弹在炮管中的发射瞬间
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其中，ρ代表燃气密度，t代表时间，p代表压力，u代表气体流速，T代表气体温度，R代表气体常数颗粒间应力，Ψ代表火药相对已燃体积，ρp代表固相分密度，T1代表定容燃烧温度，α代表余容，L代表从膛底算起的炮弹位置，v代表炮弹的平均移动速度，pb代表弹底压力，m代表炮弹质量。
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以上是膛内流场的一维均相流方程组，是数学家拉格朗日提出的将复杂的膛内流场简化为一个等截面身管中火药瞬时燃完的纯气体流动问题，并且假设气体密度为均匀分布，在此基础上获得气体动力数学模型的近似解。现代内弹道学研究建模比这个方程组复杂得多，当然计算结果也更为精确。
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平心而论，这种计算的技术技巧我国掌握得相对比较晚，在清朝末年和外国列强战斗的过程中，中国军民在列强的舰船利炮面前吃了大亏。高射速的火炮我们造不出来，炮弹我们也造不出来，甚至不知道应该造成什么样子，更别提耐用的蒸汽机或者内燃机了——在复杂计算科学领域的落后带给我们的伤痛真是刻骨铭心。
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除此之外，内燃机制造、航空、航天、通信等众多高精尖领域也需要这种计算科学的辅助才能获得成功。例如，在数字通信领域经常使用的傅里叶变换和反变换过程也是高等数学研究的对象，不过它所基于的数学原理更为抽象。最早的电话使用的模拟信号原理是（如图3-10所示）：声音通过金属振动膜感应声波来影响磁场和电流，并把这种带有金属振动膜振动“信息”的电流传送到另一端；另一端则进行反向的工作，把不断变化的电流转化为电线圈中磁场的变化，使金属振动膜发出同样的振动。这种信号有比较严重的局限性，一旦距离较远，则电流的衰减会大大影响通话质量。此外，这种方式对信道的浪费也比较大。傅里叶变换和反变换过程解决了音频时域信号到频域信号的转化问题，使数字信号通信代替模拟信号通信成为可能（如图3-11所示）。
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