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1700516184 笛卡尔坐标系就好比一本词典，它将一种语言翻译成另一种语言。当然，不是英汉互译，而是几何语言与代数语言之间的互译。它在代数和几何之间架起了一座桥梁：它将几何学中的点表示为一组坐标值，一条曲线表示为一个方程，该方程包含了曲线上所有点的坐标集合，描述了横坐标与纵坐标之间的关系。

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1700516186 笛卡尔坐标系建立了代数和几何之间互相转换的桥梁，这是数学领域革命性的发现。欧几里得几何学体系用公理化的方法建立了点、线、三角形、圆之间的相互作用、影响关系，这使得几何学成为数学的一个重要分支。笛卡尔坐标系则是数学家探索几何世界的又一个新工具。几何学的研究曾经一直受到我们所处的三维宇宙的限制，而在代数的世界里，宇宙可以扩展到更高的维度。在这种理论的指导下，那些在物理上无法构建的模型可以被数学家抽象地想象出来。19世纪末，数学家创立了四维理论。正是几何学四维模型的新进展和新发现启发了毕加索，他开始尝试在二维的画布上表示多维的空间。

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1700516188 现在人们以计算机为研究工具，就如同内斯在西门子所做的探索一样。他利用计算机编程，使用方程处理数据，生成了许多有趣并令人惊讶不已的成果。比如，从画布上的某个点开始以水平和垂直方向交替的方式绘制出23条直线，线与线之间首尾相连，共同构成一个几何图形。为了生成这样的图形，内斯运用了笛卡尔坐标系的代数性质，并引入了两个随机性元素，分别代表方向（上、下、左、右）及线的长度。在第22条线绘制完毕后，将其尾部端点与起点相连形成第23条线，最终得到了一个闭合图形。

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1700516190 内斯将266幅计算机生成的图形按照19行14列的模式组合在一起。这样形成的作品看上去竟与建筑大师勒·柯布西耶[1] （Le Corbusier）手稿本上的手绘设计图有几分相似。

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1700516192 这个作品手绘起来并不复杂，内斯完全可以依靠手绘完成。但是，计算机的处理能力和运算速度是惊人的，一旦编写好程序，只需按下某个按键，就可以轻松完成迭代。这就允许内斯有更多的精力去设计不同的算法并进一步提高程序的运行效率。内斯通过他的这一作品证明了，计算机能够成为艺术家工具箱中的新工具。

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1700516194 内斯在算法中引入随机性元素，这意味着，通过算法生成的图形我们无法预测和控制。但是，这并不表明计算机已经具有了创造力，因为创造力是人类有意识或潜意识的选择，而非真正的随机行为。内斯通过对算法规则的限定和引入的随机性，使他的作品具有强大的表现张力，十分抢眼。

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1700516196 也许有人会说，世界上不存在真正随机的事物，无论计算机通过算法产出多么令人惊讶的作品，也都是在程序员编程的规则范围内所产生的，这也就意味着作品依然是程序员所创造的，故所产出的结果也就是确定的。那么，真的可以这样讲吗？毕竟，在某种意义上，就像俗话讲的：“人的命，天注定。”人们更倾向于认为所有的人类行为都是预先确定的。这就带给我们一个深刻的哲学思考：人类是否真的拥有我们自以为拥有的自由意志？

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1700516198 从微观的角度分析，世间万物（包括人）都是由一个个原子组成的，原子按照物理规律也就是物理的算法运动。众所周知，原子由原子核和绕核运动的电子组成。量子数[2] （quantum number）是量子力学中表述原子核外电子运动的一组整数或半整数。经典物理学断言，原子的运动看似无序且不可预测，但实际上是由上一时刻原子的状态决定的。倘若原子静止，那么就意味着由原子构成的我们也将完全静止。但是，原子静止的条件是温度达到绝对零度，可温度只能无限接近绝对零度而不可能达到，所以原子是不可能静止的。微观世界的这些法则决定并控制了原子的运动，那么这些法则（也可以说是算法或代码）也决定并控制了整个宇宙，包括人类的活动。既然计算机的创造力属于编写代码的程序员，而由上所述，人类的行为是由微观世界的算法来决定并控制的，那么我们人类的创造性行为是否真的属于我们自己？

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1700516200 也许，我们只能寄希望在量子世界中找到人类活动最根本也是最原始的驱动力。现代物理学断言，唯一真正的随机事件只发生在量子层面上，即能够决定和影响未来宇宙中万事万物发展可能性的因素，是在亚原子层面上发生的。根据控制电子行为的波函数的坍缩，电子在下一时刻的运动是随机的。也就是说，在下次观测的时候，你无法事先预知会在哪里找到它。“自由意志”一直是哲学界争论不休的话题，而“意识”也是科学一直以来无法触及的领域。量子意识理论认为，经典力学无法完整解释意识，意识是一种量子力学现象，如量子纠缠和叠加作用。人类大脑中存在海量的处于量子纠缠态的电子，意识正是从这些电子的波函数的周期性坍缩中产生的。要编写真正具有自由意志来进行创作的代码，可能只能在量子计算机上实现了。

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1700516202 [1] 20世纪最著名的建筑大师，现代主义建筑的主要倡导者，机器美学的重要奠基人，功能主义建筑的泰斗，被称为“现代建筑的旗手”“功能主义之父”。——译者注

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1700516204 [2] 量子数是表征原子、分子、原子核或亚原子粒子状态和性质的数。量子数是这些粒子系统内部某些守恒量的反映，与这些守恒量相联系的量子数又称为好量子数，它们可表征粒子系统的状态和性质。——译者注

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1700516209 天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514902]

1700516210 天才与算法：人脑与AI的数学思维 分形：大自然的代码

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1700516212 什么是分形？

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1700516214 “分维和分形的设想”最早由本华·曼德博（Benoit B.Mandelbrot）于1973年在法兰西学院讲课时提出，但人类在这个概念被提出之前早已发现了分形现象。1904年，瑞典数学家科赫（Helge von Koch）首次发表了雪花图案的结构——科赫曲线（又称雪花曲线），它被认为是一种数学怪胎，一种奇怪的人工构造（但实际上并不是，自然界中到处都是以分形结构存在着的图形）。分形具有以非整数维[1] 形式充填空间的形态特征。以科赫曲线为例，我们既不能说科赫曲线是一维的，也不能说它是二维的，因为无论将它放大到什么程度，它都不会是以直线或光滑曲线所构成的，那么它就不包含任何一维的几何图形；同样，它被称作曲线也就意味着它不占任何面积，所以它也不是二维的。那么，我们就需要一个新的维度，对这一类图形进行定义，这就是分维。科赫曲线约为1.26维。分形还有一个重要的特性就是自相似性——一个粗糙或零碎的几何形状（分形图形），可分成数个部分，且每一部分都与整体完全一致或至少相近似，例如罗马花椰菜、谢尔宾斯基三角形，等等。

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1700516216 自从内斯使用计算机绘制出由代码生成的绘画开始，在随后的几十年里，程序员们利用计算机展开试验，使用简单的程序代码生成非同一般、异乎寻常的视觉艺术作品。程序员们之所以能展开这些试验，全都依靠于不断发展的计算机技术。如果没有计算机的帮助，从无限复杂的图形中发现分形几乎是不可能的。从某种程度上讲，在没有参照物的情况下，因为分形图像的自相似性，我们是无法判断我们所观察的这一部分在图中的所在位置以及放大倍数的。

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1700516218 相信所有去过迪厅或夜总会的人，都会被DJ身后大屏幕上奇幻的画面所吸引。注视它时，你会发现大屏幕上所投放的画面不断地放大，让人有一种被吸入的感觉，仿佛进入了一个梦幻般的世界，但似乎永远触不到底。当被这奇幻的画面所吸引时，你会联想到什么？这就是用计算机生成的最经典的分形案例之一——曼德博集合[2] （Mandelbrot set）。这样的分形图像在没有计算机辅助的情况下是不可能生成的。那么，计算机生成的这些分形图像算得上是艺术吗？

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1700516220 凯瑞·米切尔（Kerry Mitchell）是一位以算法和分形艺术而闻名的美国艺术家，他在1999年发表的《分形艺术宣言》中试图证明这样的观点：艺术不能仅仅依靠计算机来制作——艺术是设计程序，是算法的选择，而不是最终的执行。他这样写道：“分形艺术不是电脑艺术。从某种意义上来讲，计算机完成了所有的工作，但这些工作只有艺术家来操作电脑才能完成。打开一台电脑，让它单独待在那里一个小时，等你回来的时候，不会有任何艺术作品产出。”

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1700516222 没有人会宣称计算机是具有创造性的。分形艺术和内斯利用计算机生成的计算机艺术最根本的区别在于，分形艺术是完全确定的，是由算法决定的。计算机在没有编程的情况下，是不会做出任何运算的。虽然计算机分形图像让人感到如此的新奇和惊讶，但也让人感觉毫无生气、贫乏。也许这是因为其无法在两个意识世界之间架设有效的桥梁。

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1700516224 尽管如此，计算机生成的分形图像还是让它们的创造者赚了大钱，因为分形已经被证明是模拟自然世界的一种非常有效的方法。曼德博在其开创性的著作《大自然的分形几何学》中解释了自然如何使用分形算法来制造蕨类植物、云、波浪、山。这本书启发了时任波音公司工程师的洛伦·卡彭特（Loren Carpenter）在计算机上使用分形代码模拟自然世界，他在夜间使用波音公司的电脑制作了一段长约两分钟的电脑生成的分形鸟瞰风景动画Vol-Libre。正是这段时长两分钟的动画，最终使他成了皮克斯公司的创始人之一和首席科学家。

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