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天才与算法：人脑与AI的数学思维 沃沃斯基的愿景
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弗拉基米尔·沃沃斯基（Vladimir Voevodsky）是明星数学家，他仅用传统的纸笔工具就在数学研究领域成绩斐然，但后来他开始倡导数学家使用计算机技术辅助研究工作。我和他是在牛津大学相见的，当时我们正在尝试请他为我们工作。人们都认为他是获得菲尔兹奖的不二人选，于是牛津大学决定尽早给他一个待遇优厚的工作职位。沃沃斯基在自己的工作研讨会上提出了一个数学研究的新理念，他似乎想引导大家使用一种能够证明那些困扰几代数学家问题的全新数学语言。他认为这种新的数学语言不是某种学术研究思路的延续，也不是几种观点的简单组合。
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我之前在书中谈到了三种创造力：探索型创造力、组合型创造力和变革型创造力。通过引入一种全新的视角来改变一个领域的面貌，沃沃斯基的创造力确实具有变革性。聆听他的观点，你不禁会问：“这是从哪里来的想法？”
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原来，激发他这种非凡创造力的竟是一些意想不到的东西。交谈期间，当我知道他在选择未来工作地点的一个重要考虑因素是能否获得他需要的药物时，我感到非常震惊。我所说的药物并不是很多数学家的首选药——咖啡因。（正如著名的匈牙利数学家保罗·厄多斯所说：“数学家是将咖啡转化为定理的机器。”）他要求我们必须源源不断地给他供应一些相当“过瘾”的B类药物作为他去牛津大学的交换条件。
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我从未真正觉得药物会对提升逻辑思维的缜密程度大有裨益，但沃沃斯基认为安非他命[1] 能使他产生大量幻觉，可以使他激发出极大的灵感。当我看到咖啡因和安非他命对蜘蛛织网产生影响时，我开始有些相信他的方法。正常蜘蛛可以迅速织出形状规则的网，而摄入咖啡因的蜘蛛织的网就像一团乱麻。沃沃斯基后来获得了菲尔兹奖，并接受了普林斯顿大学高级研究所的职位，但他早期的成功方式却引发了一场生存危机。
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他说：“我意识到下一个数学问题的证明可能在学术领域不会产生太大的影响了，因为数学即将面临一场危机，或者更确切地说，似乎是两个危机。”
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这两个危机的其中之一涉及“理论数学”和“应用数学”的分离。随着研究预算越来越紧张，政府不得不面对把科研经费投向何处的两难困境。一些政客开始质疑：为什么要把大量资金投给那些对社会没有实用价值的研究工作。因此，沃沃斯基极其重视向外界阐述他所从事的研究工作将来会对社会产生的深远影响。
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另一个危机更像是一场生存危机，它与数学研究变得日益复杂有关。即使数学家们能够精通各自研究的细分领域，但对他人的研究过程和成果缺乏足够的了解。因此，数学家正在变得越来越孤立。早在1739年，大卫·休谟（David Hume）就在他的《人性论》中阐述过社会背景也能对学术研究产生重要影响：
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在他的研究领域中，没有一个代数家或数学家能像他那样专注。他对自己发现的任何真理都充满信心，哪怕它仅仅是一种可能的存在。每当他推演出自己的证明成果，尤其在得到更多同行的赞许和学术界的普遍赞誉与认可时，他的信心就会更加坚定。
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沃沃斯基还认为，学术期刊的论文迟早会由于过于复杂而无法得到详细的论证，而这将导致期刊文献中出现未检测到的错误。从某种意义上说，数学是一门深度学科（具有复杂的层阶结构），一篇论文通常将之前许多篇论文的结论作为依据，这种错误的叠加效应将会得到非常危险的结果。
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在意识到这两个潜在的危机后，沃沃斯基决定放弃为他赢得名声和荣誉的研究领域，转而致力于研究数学如何避免发生潜在灾难的问题。他的第一个挑战是运用数学方法来解决其他领域的问题。他从小就对生物学很感兴趣，所以他想知道他开发的数学工具是否可以为公认的非数学领域提供新的见解。他花了几年时间，尝试通过分析种群的当前基因结构来追本溯源，但他试图破解生物学之谜的研究项目最终搁浅。与其所擅长的数学领域大相径庭的是，他发现自己并没有深入探究生物学问题的工具和技能。
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他说：“到2009年我才意识到我的研究成果竟然毫无用途。到目前为止，它也许是我学术生涯中最大的遗憾。虽然我为该项目做了大量的工作，但最终还是失败了。”
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经过多次深入灵魂的反思，他转向了他所发觉的另一个危机：理论数学正在变得日益复杂。沃沃斯基认为，如果人类无法检验彼此的证明成果，那么我们可能需要寻求机器的帮助。那些批判他观点的人对迫在眉睫的危机不为所动。对于许多数学家来说，谈论使用计算机辅助研究似乎就是误入歧途。大多数数学家继续坚信，在自身敏锐直觉的引导下，人类思维才是促进方程和几何研究发展并可获得解决方法的核心力量。
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当沃沃斯基四处寻找合适的工具时，他发现唯一可行的计算机系统是法国的Coq系统，它能够引导证明。最初他无法理解它是如何运作的，所以他向高级研究院申请由他教授Coq系统的课程。“如果你想要深入了解某些知识和概念，就试着备课并教会别人”。渐渐地，他明白了，计算机学者所使用的程序设计语言，起初看似难懂，实则是他早些年作为数学家时运用过的一种抽象世界的范式。
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他似乎找到了同时化解两个危机的方法。首先，他发现看似呆板机械的数学范式竟然完美地构建了计算机世界；其次，他可以利用这种“新语言”来创建一套全新的研究数学领域的基础方法，计算机将在其中发挥核心作用。
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绝大多数数学家认为沃沃斯基对未来数学的设想太具颠覆性，甚至有些人认为他已“堕入深渊”。那些仍用纸笔计算的学者（可能现在也使用计算机来检验常规计算结论）和那些想用计算机来证明新定理的学者之间仍然存在较大分歧。虽然使用计算机检查证明结论的方法正在被更多人接受，但数学研究的方向和方法依然掌握在人类手中。也就是说，计算机还不具备在数学研究领域的独创能力。
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然而，沃沃斯基认为：“我不知道持有这些观念的人前途何在。这些保守迂腐的观念终将被抛弃。新的数学研究方法首先会被一小部分人运用，然后逐渐普及，最终成为标准，紧接着就会出现在数学专业研究生的课堂上，进而推广到本科教育阶段。这个过程大约需要几十年，接下来会发生什么就不得而知了。”
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沃沃斯基还将这种人机互动比作玩计算机游戏：“你告诉计算机尝试这个，它尝试了，然后把执行结果反馈给你。有时结果会出人意料，这非常有趣。”
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遗憾的是，沃沃斯基没有机会看到这些改变了，2017年他死于动脉瘤，享年51岁。
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总之，在沃沃斯基的启发下，我也开始对计算机能够激发数学创造力持乐观态度。鉴于数学和音乐之间存在某种密切的联系，我想通过研究AI是如何创作音乐来思考计算机怎样能对数学研究产生更大的作用。毕竟，正如巴赫的学生洛伦茨·米兹勒·冯·科洛夫（Lorenz Mizler von Kolof）所说的，“音乐就像会发出声音的数学”。
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[1] 精神类药物名称。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 第11章 音乐：声响的数学之旅
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戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）
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