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量子宇宙 [:1700921906]
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量子宇宙 第六章 原子之音律
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原子内部是一个奇妙的地方。如果站在质子上并眺望原子之间的空间，你看到的将只是一片虚无。电子仍是极小，就算它们十分偶然地近至触手可及，你也感觉不到。质子的直径约为10－15米，或者说0.000000000000001米。但它作为一个量子，跟电子比起来则是庞然大物。如果你站上的质子在英格兰的多佛尔白崖（White Cliffs of Dover），那原子模糊的边界就在法国北部的某处农场中[120]。原子广袤空旷，而你的身体也是如此。最简单的原子是氢原子，包含一个质子和一个电子。电子小得微乎其微，看上去就像漫游在没有边界的场地，但事实并非如此。由于彼此的电磁吸力，电子与其质子彼此束缚陷入罗网；而正是关押它们的豪华囚室的尺寸和形状，决定了光特有的条码彩虹，被我们的老朋友和晚宴常客凯瑟尔教授记录在《光谱学手册》中。
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现在终于可以把我们到目前为止所积累的知识，应用到曾在20世纪初深深困扰卢瑟福、玻尔等人几十年的问题上：原子内部到底是怎么回事？或许你还记得，这个问题是这样的：卢瑟福发现，原子在某些方面就像一个微缩的太阳系，致密原子核像太阳一样位于中心，电子像行星扫过遥远的轨道。卢瑟福知道，这个模型不可能是正确的，因为在绕核轨道上的电子应该不断地发出光。结果对于原子应该是灾难性的，因为如果电子不断地发出光，则它必会损失能量，并沿螺线向内运动，最后不可避免地撞上原子核。这种情况当然没有发生。原子是趋向于稳定的。那么这模型的问题在哪里呢？
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这一章是本书的一个重要发展阶段；在本章中，我们的理论将首次被用于解释现实世界中的现象。到目前为止，我们所有的艰苦工作都集中在弄清楚核心理论形式，这样我们才能思考量子粒子。海森伯的不确定性原理和德布罗意关系，标志着我们成就的巅峰；但总的来说我们是谦逊的，考虑的是只包含一个粒子的宇宙。现在是时候展示，量子理论是如何影响我们生活的日常世界了。原子结构是真实而具体的。你由原子组成：它们的结构就是你的结构，它们的稳定性就是你的稳定性。所以说，理解原子的结构就是理解我们宇宙整体的必要条件之一，这一点也不过分。
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在氢原子内部，电子陷在质子周围的一个区域内。我们先想象一下，电子陷在某种盒子里，这与事实也相差无几。具体来说，我们将研究电子陷在小盒子中的物理现象能在多大程度上抓住真实原子的突出特征。我们会通过利用前一章所学的量子粒子的类波特征来进行研究，因为对于原子，波动图像确实可以简化描述；我们可以不用再担心钟的收缩、旋转和相加，就能够取得不错的进展。不过，请永远记住，波只是用来描述“引擎盖下”内情的一种便捷记法。
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由于为量子粒子发展的理论框架，与用于描述水波、声波或吉他弦上的波的框架极其类似，我们会先来思考一下，当这些熟悉的物质波以某种方式被约束时的行为。
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图6.1：六连拍水缸中水的驻波。时间从左上到右下依次前进。
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一般来说，波是很复杂的。想象跳入一个灌满水的游泳池。纷乱的水波漾开，似乎任何想用简单方式来描述这种状况的尝试都是徒劳。然而，隐藏在复杂性的背后是简单性。关键之处在于，水是封闭在泳池中的，这也意味着所有的波都陷在泳池中。这产生了一种称为“驻波”（standing wave）的现象。当我们跳入泳池扰乱水面时，驻波隐藏在纷乱的水波中；但有一种办法可以让水波以规律、重复的驻波模式振动。图6.1展示了水面经历这样的一周振荡是什么样子。波峰和波谷此起彼伏，但最重要的是它们在完全相同的位置上升和下降。也有其他的驻波，包括水缸中央的水有节奏地上升和下降。我们通常不会看到这些特殊的波动，因为它们很难产生；但关键之处在于，任何水面的扰动——就算是由我们粗劣的跳水以及随后四处戏水所造成的——都可以表现为不同驻波的某种组合[121]。我们以前见过这种行为；这直接归纳了上一章中遇到的傅里叶观点。在那里，我们看到任何波包都可以由一些波长确定的波所组成。这些代表具有确定动量的粒子态的特殊的波是正弦波。在受限水波中，这种观念可以广泛应用：任意的扰动都总能由某种驻波的组合来描述。在本章后面会看到，驻波在量子理论中具有重要的诠释；事实上，驻波是理解原子结构的关键。记住这一点，我们来更详细地探讨它们。
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图6.2：吉他弦能容纳的三种波长最长的波。波长最长的波（顶端）对应最低谐波（基频），其他的对应高阶谐波（泛音）。
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图6.2展示了大自然中驻波的另一个例子：吉他弦上三种可能的驻波。在拨动吉他弦时，我们听到的音通常由最大波长的驻波主导，也就是图中所示的三列波中的第一列。这在物理学和音乐学中都称为“最低谐波”（lowest harmonic）或者“基频”（fundamental）。其他波长的波也很常见，它们称为泛音（overtone）或者高阶谐波（higher harmonic）。图中的其他波是两列波长最长的泛音。吉他这个例子不错，因为要看出吉他弦为什么只能以这三种特殊波长振动，这很简单。这是由于弦的两端都被固定住了：一端固定在吉他琴桥上，另一端被手指按在琴格上。这意味着琴弦在两个端点处不能运动，而这就决定了允许的波长。如果你弹奏吉他，就会直观地了解其中的物理：当手指在指板上向靠近琴桥的琴格移动时，琴弦长度减小，迫使其以越来越短的波长振动，对应更高的音。
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最低谐波只有两个稳定点，又称波节；除了两个固定的端点，波的任何位置都在运动。从图中可以看到，这个音的波长是弦长的两倍。次长的波长等于弦的长度，因为在弦的中央可以加上一个波节。接下来，我们可以得到波长等于2/3弦长的波，以此类推。
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一般情况下，就像束缚在泳池中的水一样，弦会以不同的驻波组合振动，取决于如何拨弦。弦的实际形状总是可以由对应存在的每列谐波的驻波相加而来。谐波及其相对的振幅大小，使得声音具有其音色。不同的吉他有不同的谐波分布，因此音色也不同；但一把吉他上的中央C（纯谐波）和另一把上的中央C的音高总是相同的。对于吉他，驻波的形状非常简单：它们是纯粹的正弦波，波长由琴弦的长度决定。对于泳池，如图6.1所示，驻波更为复杂，但观念是完全一样的。
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你可能会困惑，为何这些特殊的波被称为“驻波”。这是因为，这些波的形状从不改变。如果我们拍下以驻波振动的吉他弦的两张照片，则它们的区别将只在于波的整体大小。波峰总是在同一处，而波节也是，因为它们由琴弦端点的位置决定；在泳池的例子中，它们由池壁决定。在数学上，我们可以说，两张照片中的波只相差一个整体的乘积因子。这个因子随时间而周期性变化，表达出了琴弦的有节奏振动。对于图6.1中的泳池也是如此，每张照片由一个乘积因子同其他照片之间联系起来。例如，最后一张照片，可以通过将第一张照片中的波高乘以－1得到。
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小结一下，以某种方式束缚的波，总能被表达成驻波（不改变形状的波）的组合。我们之所以投入这么多时间去了解它们，有很充分的理由。最重要的理由是，驻波是量子化的。对于吉他弦上的驻波，一切清晰明了：基频的波长是弦长的两倍，而允许的次长波长等于弦长。不存在波长位于这两者之间的驻波，因此我们可以说，吉他弦上允许的波长是量子化的。
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由此可知，如果陷住波就会有什么东西被量子化。在吉他弦的例子中，量子化的显然是波长。对于盒中电子的情形，与电子对应的量子波也是被陷住的。类比可知，一些东西会被量子化，所以应该期望只有特定的驻波会出现在盒子里。其他类型的波不可能存在，就像无论怎么拨动，一根吉他弦都不可能同时弹出一个八度（octave）的所有音。而就和吉他的乐音一样，一般的电子态也由驻波态的混合来描述。这些量子驻波开始变得有意思了；受此鼓舞，我们来恰当地分析一番。
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要取得进展，我们必须明确用来放置电子的盒子的形状。简便起见，我们假设电子可以在一个大小为L的区域内自由跳跃，但完全禁止它游荡出这个区域。我们本不需要说明准备如何禁止它游荡出去——但如果这是一个简化的原子模型，则我们应该想象，由带正电荷的原子核施加的力负责束缚住电子。在术语中，这叫作“方阱势”（square well potential）。图6.3画出了这种情况；命名的原因应该是显而易见的。
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图6.3：陷在方阱势中的电子。
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将粒子束缚在势中的观念非常重要，后文还要使用；因此我们要准确理解它的含义，这会非常有用。我们究竟是如何陷住粒子的？这个问题相当复杂；要彻底弄清楚它，需要了解粒子是如何与其他粒子相互作用的，这是第十章的内容。尽管如此，只要不问过多的问题，我们还是可以取得进展。
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在物理学中，“不要问太多问题”是一项必要的技能，因为不存在完全孤立的物体体系，我们必须在某处画下界线，才有可能回答一些问题。如果我们想了解一台微波炉如何工作，就应该无需担心外面经过的车流，这看似毫无问题。但车流对微波炉的运转还是会有微小影响的，它带来空气和地面振动，使微波炉轻微摇晃。还可能有杂散的磁场，无论屏蔽得多好，都会影响微波炉内部的电子元件。忽略一些事情时有可能因为错过一些关键细节而犯错的。在这种情况下，我们就会得到错误的答案，不得不重新考虑假设。因此所有的假设都要通过实验来验证或否定，这非常重要，也是科学成功的核心。大自然才是仲裁者，而非人类的直觉。这里，我们的策略是忽略陷住电子的机制细节，并建立名为势的模型来研究它。“势”这个词，实际上只是说“由于某些物理或其他原因对粒子产生的效应，但我懒得仔细解释”。后面会对粒子的相互作用详加描述，但现在我们将用势的语言来讨论。如果这听起来有点漫不经心，让我们举例说明势在物理学中是如何应用的。
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