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混沌：开创一门新科学 第六章 普适性
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给，拿着这本书：仔细读完它。重复这几行话将点石成金；在地上画出这个圆圈将召来狂风暴雨、电闪雷鸣。
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——克里斯托弗·马洛，《浮士德博士的悲剧》（第二幕第一场）
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在一处瀑布上游的几十米处，原本平滑流动的溪流似乎预见到即将到来的坠落。水流开始加急。激流荡漾，犹如道道青筋暴起。米切尔·费根鲍姆站立在溪流边。他穿着运动西装和灯芯绒裤子，稍稍有点儿出汗，手里还夹着一支香烟。他与朋友们一起出来郊游，但他们已经走到前头，前往更上游的池潭。突然之间，就仿佛在高速模仿一位网球观众，他开始左右摇头，晃个不停。“你可以集中注意在某样东西上，比如一点儿水沫或其他东西，”他说道，“如果你摇头摇得足够快，你就可以突然看出其表象之下的整个结构，你可以直觉感受到它。”他又嘬了一口烟。“但对于任何有数学背景的人来说，如果你看着这些东西，或者望着层层堆叠的云彩，又或者站在风暴中的海堤上，你就会知道你其实什么都不知道。”1
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1费根鲍姆。费根鲍姆关于普适性的重要论文是：“Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations,”Journal of Statistical Physics 19 (1978), pp. 25–52, and“The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations,”Journal of Statistical Physics 21 (1979), pp. 669–706. 一篇稍微通俗一些但仍然需要一点儿数学的论述是他的综述文章：“Universal Behavior in Nonlinear Systems,”Los Alamos Science 1 (Summer 1981), pp. 4–27. 我还利用了他未发表的回忆录：“The Discovery of Universality in Period Doubling.”
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暗藏在混乱中的秩序。这是科学最古老的滥套子。大自然有其隐藏的统一性，共通的深层框架的思想有着一种内在的吸引力，也有着一段催生出众多伪科学家的不光彩历史。当费根鲍姆在 1974 年来到美国洛斯阿拉莫斯国家实验室时，差一岁就将进入而立之年的他知道，如果物理学家现在想要利用这个思想做出点新东西，他们将需要一个应用框架，一种将想法变成具体计算的方法。2 而如何找出破解问题的第一个突破口并不是显而易见的。
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2费根鲍姆，卡拉瑟斯，茨维塔诺维奇，坎贝尔，法默，菲舍尔，克尔，哈斯拉赫尔，任峻瑞。
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将费根鲍姆招揽进来的是彼得·卡拉瑟斯，一位表面看着温文尔雅的物理学家，他在 1973 年离开美国康奈尔大学，到此执掌理论部。他新官上任的第一把火就是解聘了六位资深科学家（洛斯阿拉莫斯实验室并没有为自己的研究人员提供类似大学终身教职的保障），然后代之以自己挑选的几位聪明过人的年轻研究者。作为一位科研管理者，他有着强烈的进取心，但他也透过自身经验了解到，好的科学不总是能够规划出来的。
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“如果你在实验室或在华盛顿召集了一个委员会，并说，‘湍流现象实在是我们的拦路虎，我们必须要理解它，对它缺乏理解已经着实严重阻碍到我们在其他许多领域取得进展’。接下去，当然，你会招募一个团队。你会购入一部大型计算机。你会开始推进大项目。但最后你还是会无功而返。相反，我们现在请了这位聪明的小伙子，他默默钻研——确实，他也会跟其他人交流，但大多数时候还是他自己一个人在做。”3 他们曾经讨论过湍流，但随着时间逝去，甚至连卡拉瑟斯也不再确定费根鲍姆意欲何为。“我原本以为他放弃了，转向了一个不同的问题。当时我并不知道，这个不同的问题实际上是同一个问题。它看上去正是许多不同科学领域都受阻于此的那个问题——他们都受阻于系统的非线性行为的这个层面。当时没有人料想到，解决这个问题的必要知识背景是，你需要了解粒子物理学，需要了解量子场论，需要知道在量子场论中有所谓的重整化群。那时没有人知道，你还需要理解随机过程的一般理论，以及分形结构。
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3卡拉瑟斯。
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“但米切尔刚好拥有这样的知识背景。他在正确的时间做出了正确的事情，并且他做得非常棒。他不是部分解决，而是彻底解决了整个问题。”
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费根鲍姆在来到洛斯阿拉莫斯时已经心怀这样一个信念，即他的科学一直以来未能理解那些困难的问题——那些非线性问题。尽管他之前作为物理学家几乎没有任何产出，但他已经积累了一个不寻常的知识背景。他对于最具挑战性的一些数学分析问题、对于让大多数科学家头疼的各种新类型的计算技术有着一种敏锐的操作知识。他也成功让自己没有完全抛弃一些来自 18 世纪浪漫主义运动的、看上去非科学的思想。他想要做一种新的科学。为此，他暂时抛开了任何试图理解现实中的复杂性的奢望，而从他能够找到的最简单的非线性方程着手。
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米切尔·费根鲍姆第一次意识到世界的神秘是在他四岁的时候，那是在第二次世界大战后不久，在他父母在纽约布鲁克林区弗拉特布什的家里，他第一次聆听一部银音（Silvertone）收音机。4 一方面，他困惑于音乐如何能够不假外物就传送过来。另一方面，他自觉能够理解留声机的运作。毕竟他的祖母已经给了他一个特别许可，准许他操作家里的 78 转留声机。
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4费根鲍姆。
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他的父亲是一名化学家，先后工作于纽约港务局和伊卡璐公司。他的母亲则在纽约的公立学校任教。米切尔起初立志成为一名电子工程师，这是一个在布鲁克林人看来意味着优渥生活的职业。后来他意识到，自己针对收音机想了解的一切更有可能在物理学中找到。他属于那样一批小时候成长于纽约郊区，后来经由就读于优秀的公立学校（对他来说是塞缪尔·T. 蒂尔登高中），继而纽约市立学院而踏上成功的职业之路的科学家。
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一个天资聪慧的孩子在布鲁克林区长大，他的成长之路在某种程度上也是一段在心智世界与同侪世界之间摇摆的曲折道路。在很小的时候，他很是合群，因为他将之视为不受欺凌的一个关键。但当他意识到有那么多东西可学的时候，事情开始改变了。他变得越来越离群索居。普通对话不再能够吸引他的注意。在大学最后一年的某个时候，他突然意识到自己已经错过那段青春年少的岁月，所以他特意为自己安排了一个重新恢复与人接触的课题。他会默默地坐在咖啡馆里，聆听其他学生闲话剃须或食物，然后慢慢地，他重新掌握了与人交谈的科学的大部分要义。
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他在 1964 年本科毕业，然后前往麻省理工学院继续深造，并在 1970 年从那里取得了基本粒子物理学的博士学位。然后他在康奈尔大学和弗吉尼亚理工学院度过了一事无成的四年——“一事无成”，指就一些可解决的问题持续发表论文而言，毕竟这对一位年轻科学家来说是生死攸关的。博士后研究员通常被认为应当以发表论文为要务。时不时地，一位指导老师会询问费根鲍姆某个问题进展得怎样了，而他会回答：“哦，我已经弄懂它了。”5
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5卡拉瑟斯。
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作为一位本身卓有成就的科学家，卡拉瑟斯素以自己的识才慧眼为傲。他看人不注重智力，而是注重某种似乎从不知哪里源源而来的创造性。他一直记得肯尼思·威尔逊的例子。这位说话和气的康奈尔大学物理学家长久以来似乎没有取得任何成果，但任何跟他深聊过的人都会意识到，他有着一种深刻的物理学洞察力。所以是否授予威尔逊终身教职的问题引发了激烈辩论。最终，愿意对他尚未得到证明的潜力赌上一把的物理学家占据了上风——之后就仿佛是大坝溃坝，一发而不可收。不是一篇，而是一系列论文从威尔逊的抽屉中喷涌而出，包括后来为他赢得了 1982 年诺贝尔奖的成果。
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威尔逊对于物理学的伟大贡献（连同其他两位物理学家，利奥·卡达诺夫和迈克尔·费希尔的工作）构成了混沌理论的一个重要基础。这三个人虽然独立工作，但都在从不同角度思考相变过程中所发生的。他们都在研究物质在从一种状态转变成另一种（从液体变成气体，或从非磁体变成磁体）的临界点附近的行为。处在两个存在状态之间的边界上，相态转变的数学往往是高度非线性的。而物质在相变之前或之后的状态里所具有的那种平滑的、可预测的行为，往往对理解相变过程几乎没有什么帮助。火炉上的一壶水以一种有规则的方式逐渐升温，直到它抵达沸点。但之后温度不再改变，同时，在气液界面上，某种相当有趣的事情发生了。
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正如卡达诺夫在 20 世纪 60 年代所认为的，相变问题构成了一个智力谜题。6 试想一块被磁化的金属。随着它进入一个有序的状态，它必须做出一个决定。磁铁有南北两极，而它可以选择这个或那个指向。但金属块中的每一个原子也必须做出同样的选择。这如何做得到？
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6卡达诺夫。
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在这个选择过程中，金属块中的原子必定以某种方式相互传递了信息。卡达诺夫的洞见正在于，这样的信息传递可以通过标度的概念非常简单地加以描述。实际上，他设想将一定数量的原子群聚成块，对其平均加以考虑。每一块都与其邻居相沟通。而描述这种沟通的方式正与描述任意一个原子与其邻居相沟通的方式相同，只是一些参数需要重新标定。标度思想的有用性就在于此：金属块因而可被视为一个类似分形的结构，由各种尺度的块构成。
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为了证明这个标度假设，需要用到大量的数学分析以及对于现实中的系统的丰富经验。卡达诺夫感到自己选择了一副千斤重担，但他也意识到自己将创造出一个自包含的、极其美丽的世界。其美丽之处部分在于其普适性。从卡达诺夫的理论可以得出一个关于临界现象的最惊人事实，即不论是液体的沸腾，还是金属的被磁化，这些看上去不相关的相变其实都遵循相同的规律。
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再接下来，威尔逊借助重整化群理论将整个理论整合起来，给出了一种计算现实中的系统的强有力方法。重整化早在 20 世纪 40 年代就已经进入物理学，被用于量子理论，以使得计算电子和质子的相互作用成为可能。就像卡达诺夫和威尔逊所操心的那些计算，这样一些计算的结果往往包含一些无穷大的量，它们没有物理意义，因而需要加以处理，但无疑也难以处理。利用理查德·费曼、朱利安·施温格、弗里曼·戴森等物理学家所提出的技术将系统重整化，就可以消除这种发散性。
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