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力学（物理类） [:1700973463]
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力学（物理类） 4.2 对称性与守恒律
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4.2.1 对称性
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自然界中某些事物对半分开后，向左、向右或向上、向下的结构相同，前者如人体外观，后者如水面上下景像．这些感觉在人的思维中形成了对称的原始观念．左右对称既具有简单的和谐与朴素的美感，又易于创作，更多地表现在古建筑中．我国历代自民间屋宇、城墙门楼到帝王宫殿，几乎都是左右对称的．汉字中“门”的繁体字“門”取象形结构，也成左右对称．欧洲人同样欣赏这种简朴的对称，刻意编制的语句“Madam, I’m Adam”，以“I”中分，左右对称，可以从左边开始念，也可以从右边开始念，内容相同．左右对称，上下对称都可以通过平面镜物像关系来比喻，所以也称镜面对称．
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为尝试用科学的语言表述镜面对称，取两个相同的几何圆锥体，如图4-23所示，对称地放在yz平面的两侧．设想yz平面上有一面镜（图中用虚线画出），两个锥体便呈物像关系．以这两个锥体构成的系统作为考察对象，不难发现，全系统中每一个点部位的坐标量x置换成-x，保持y，z不变，所得新系统与原系统相同．数学上将仅取x到-x（或y到-y，或z到-z）的变换称为镜面反演，于是一个系统若在镜面反演变换下保持不变，那么称这一系统具有镜面反演对称性．
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图 4-23
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将对称性精练地定义为系统在某种变换下具有的不变性，是德国数学家魏尔（H. Weyl）首先提出的．镜面反演属于空间变换，此外，还有时间变换和其他各种变换．力学讨论质点系运动状态的变化以及其中的动力学规律，这些内容都可以构成系统，考察它们在空间、时间各种变换下所具有的对称性．
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●空间变换对称性
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镜面反演对称性：如前所述．
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空间反演对称性（点对称性）：系统在空间反演，即在r→-r（x→-x，y→-y，z→-z）变换下具有的不变性，称为空间反演对称性，也常称为相对坐标原点O的点对称性．匀质椭球体、匀质圆柱体等，相对各自几何中心都具有点对称性．
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空间平移对称性：系统在空间平移，即在r→r＋R（R为常矢量）变换下具有的不变性，称为空间平移对称性．孤立质点系的速度、加速度分布具有空间平移对称性，满足牛顿第三定律的一对作用力与反作用力也具有此种对称性．
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轴转动对称性（轴对称性）：系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下具有的不变性，称为轴转动对称性，或称轴对称性．由两个质点组成的系统，相对它们的连线具有轴对称性．
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点转动对称性（球对称性）：系统在绕着某点作任意旋转的变换下具有的不变性，称为点转动对称性，或称球对称性．静止的均匀带电球体相对球心具有球对称性，它的空间场强分布也具有此种对称性．
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空间平移变换中，平移的方向和距离没有任何限定，即R可以取任意常矢量．有些系统只对某一方向的平移变换具有不变性，例如在给定的坐标系中，无限长匀质圆柱体沿母线方向平移任何距离，其密度的空间分布函数不变．也有些系统只对某些方向确定“步长”的平移变换具有不变性，熟为人知的各向异性的晶格结构便是一例．
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空间转动变换中，转角可取任意值．也有些系统只对若干特定的转角变换具有不变性，例如平面正方形晶格相对正方形中心垂直轴的kπ/2（k＝±1，±2，…）转动具有不变性．
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●时间变换对称性
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时间反演对称性：系统在时间反演变换下，即在t→-t的变换下具有的不变性，称为时间反演对称性．时间反演即时间倒流，真实世界是不能发生的，但是可通过一对过程来模拟演示．例如无阻尼单摆从左侧开始的第一个周期运动过程与第二个周期运动过程互为正、逆关系，可将第二个过程模拟演示为第一个周期过程的时间反演．对于从其他位置开始的一个周期单摆运动过程，它的时间反演可用与它相隔一段时间的运动过程来模拟演示．将单摆在一个周期内依次出现的状态处理成一个系统，该系统便具有时间反演对称性，取消一个周期的限制，任意一段时间内的单摆运动过程都具有时间反演对称性．力学中尤其值得关注的是牛顿第二定律具有时间反演对称性．在t→-t的变换下，因v＝dr／dt，而有v→-v，又因，而有a→a，F因被ma定义也有F→F，可见在时间反演变换下，有F＝ma→F＝ma，即第二定律具有时间反演对称性．经典力学中，与牛顿定律平行的是相互作用力的结构性定律．胡克定律、牛顿万有引力定律、库仑定律给出的力与质点间的空间位形有关，而与质点速度无关，这些力都具有时间反演对称性．由阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等与物体运动速度有关，在时间反演变换下，v→-v，f阻→-f阻，表明这些力不具有时间反演对称性．质点运动过程中的动力学内容既涉及牛顿定律又涉及作用力的结构性定律，需要分别讨论各自对时间反演变换的响应．在有空气阻力的情况下，考察小球自静止下落的过程．如图4-24所示，过程中向下的速度v越来越大，向下的加速度a越来越小，由牛顿第二定律所得向下的力F＝ma也越来越小．时间反演对应的过程如图4-25所示，时间反演所得的向上速度v越来越小，向下加速度a越来越大，由牛顿第二定律所得的向下的力F＝ma也越来越大．在这一时间反演变换下，牛顿第二定律保持着对称性．但是考虑到小球所受真实力F是由重力和空气阻力合成的，其中空气阻力在时间反演变换下要改变方向，因此图4-25所示的过程在真实世界中是不可实现的．尽管如此，若对图4-24所示过程进行录制，反过来放映录像，出现的“图像过程”便可模拟演示图4-25所示过程，在“图像过程”中自然不去追究F的真实结构．
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图 4-24
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图 4-25
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时间平移对称性：系统在时间平移，即在t→t＋t0变换下具有的不变性，称为时间平移对称性．由实验获得的牛顿定律和相互作用力的结构性定律都具有时间平移对称性，因为无论在什么时间进行实验，所得结论都是一样的．逻辑上考虑，相互作用力本身可以是时间平移不对称的，也可以是时间平移对称的．例如引力常量G若是随着宇宙年龄而变化，那么尽管牛顿万有引力定律仍可以具有时间平移对称性，但万有引力的强度将不具有时间平移对称性．不过，至今尚未发现相互作用的基本常量会随时间而变化．
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时间没有转动变换．上述时间平移变换中时间平移量t0可取任意值．也有些系统只对一段时间平移量的变换具有不变性，例如地球围绕太阳的运动过程，对轨道周期的时间平移量变换具有不变性．