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12堂魔力数学课 [:1700993733]
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12堂魔力数学课 兔子、音乐与拼图
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到目前为止，我们已经讨论了斐波那契数列的若干规律，但也只能算点到为止。你也许会想，这些数字的作用肯定不限于计算有多少对兔子吧。的确，斐波那契数列是很多计数问题的答案。1150年（比萨的利奥纳多还没有开始研究那些兔子呢），印度数学家赫马查德拉问，如果音乐的终止式只包含长度为1或2的音节，那么长度为n的终止式共有多少种呢？我们用简单的数学语言来表述这个问题。
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问题：如果把数字n写成1与2的和的形式，一共有多少种写法？
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我们把答案记作fn，然后考虑n取较小值时fn的值。
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和为1的情况只有一种，和为2有两种情况（1 + 1和2），和为3有三种情况（1 + 1+ 1, 1 + 2，2 + 1）。注意，只可以使用1和2这两个数字。此外，数字的先后次序是需要考虑的重要因素，因此1 + 2与2 + 1不同。和为4有5种情况（1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2），上表中给出的答案似乎都是斐波那契数列中的数字，事实也确实如此。
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我们以f5= 8为例，看看和为5的情况为什么有8种。求和时，第1项只能是1或者2。第1项是1的情况一共有多少种呢？在1之后，我们必须再给出一系列的1和2，而且这些数之和等于4。我们知道，这样的序列共有f4= 5种。同理，第1项是2且各项之和是5的情况共有多少种呢？在第一个数字2之后，剩余各项之和必须是3，一共有f3= 3种情况。因此，和为5的情况一共有5 + 3 = 8种。同理，和为6的序列一共有13种，因为第1项数字是1的情况共有f5= 8种，第1项数字是2的情况共有f4= 5种。一般而言，和为n的序列共有fn种，其中，以1开始的序列有fn–1种，以2开始的序列有fn–2种，因此：
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fn=fn–1+fn–2
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也就是说，fn的前几个数字与斐波那契数列相似，随后各项的增长方式也与斐波那契数列相似。因此，这些数字构成的就是斐波那契数列，不过两者之间还存在一个小差异，或者更准确地说是发生了位移。请注意，f1= 1 =F2，f2= 2 =F3，f3= 3 =F4，以此类推。（为方便起见，我们定义f0=F1= 1，f–1=F0= 0。）一般而言，对于n≥1，有：
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fn=Fn+1
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了解斐波那契数列的应用价值之后，我们可以利用这方面的知识，对它的很多美丽的规律加以证明。大家还记得我们在第4章结尾部分讨论的帕斯卡三角形的对角线方向的数字之和吧。
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例如，第8条对角线方向的数字之和是：
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1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34 =F9
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如果表述成“n选几”的形式，就是：
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为了帮助大家理解这个规律，我们用两个办法来解决下面这个计数问题。
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问题：和为8的1–2序列有多少种？
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第一种方法：根据定义，有f8=F9种。
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第二种方法：根据序列中2的个数，把这个问题分成5种情况加以考虑。
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没有2的序列有多少种？显然只有1种，即11111111，毫无疑问= 1。
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只有1个2的序列有多少种？有7种，即2111111，1211111，1121111，1112111，1111211，1111121，1111112。这些序列包含7个数字，数字2在其中有= 7种不同的位置。
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