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1700998419 12堂魔力数学课 [:1700993754]

1700998420 12堂魔力数学课三角学、三角形和三角函数

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1700998422 “trigonometry”（三角学）的希腊字根是“trigon”和“metria”，意思是三角形测量。我们先来分析一些经典的三角形。

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1700998426 等腰直角三角形。等腰直角三角形包含一个90°的角，且另外两个角必须相等。也就是说，除直角以外的两个角都是45°（因为三角形的内角和为180°）。因此，我们把等腰直角三角形称为45–45–90三角形。如果两个直角边长为1，根据勾股定理，斜边的长度必然是。注意，如下图所示，所有等腰直角三角形的边长比都是1∶1∶。

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1700998432 45 – 45 – 90三角形的边长比是1∶1∶

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1700998438 30 – 60 – 90三角形。等边三角形的所有边长都相等，所有角都是60°。如下图所示，如果将等边三角形分成两个完全相等的部分，所得到的两个直角三角形的三个内角分别是30°、60°和90°。如果等边三角形的边长为2，直角三角形的斜边长就是2，短直角边的边长是1。根据勾股定理，长直角边的边长为。因此，所有30 – 60 – 90三角形的边长比都是1∶∶2（我把它记作1∶2∶）。具体地说，如果斜边长度为1，那么另外两边的长度分别为1/2和/ 2。

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1700998444 30–60–90三角形的边长比是1∶∶2

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1700998446 延伸阅读

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1700998448 如果正整数a、b和c满足a2+b2=c2，那么我们把 (a,b,c) 称为“勾股数”（Pythagorean triple）[2]。勾股数有无穷多个，其中最小、最简单的勾股数是 (3, 4, 5)。当然，我们可以把这个勾股数扩大正整数倍，从而得到 (6, 8, 10)或(9, 12, 15) 或(300, 400, 500) 等勾股数。但是，我们关注的是更有价值的例子。下面介绍一种得到勾股数的方法。取任意正整数m、n，使m＞n。接下来，令

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1700998450 a=m2–n2b= 2mn c=m2+n2

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1700998452 注意，a2+b2= (m2–n2)2+ (2mn)2=m4+ 2m2n2+n4= (m2+n2)2=c2，也就是说，(a,b,c)是勾股数。例如，如果m= 2，n= 1，就会得到 (3, 4, 5)。如果(m,n) = (3, 2)，就有勾股数 (5, 12, 13)；如果(m,n) = (4, 1)，就有 (15, 8, 17)；如果 (m,n) = (10, 7)，就有 (51, 140, 149)。令人吃惊的是，所有的勾股数都可以通过这个方法得到（所有数论课程都会证明这个结论）。

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1700998454 三角学建立在两个重要函数的基础之上，即正弦（sine）函数和余弦（cosine）函数。如图所示，已知直角三角形ABC，c表示斜边长度，a、b分别表示∠A、∠B对应直角边的长度。

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