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12堂魔力数学课 [:1700993757]
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12堂魔力数学课 弧度、三角函数图像与经济周期
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到目前为止，我们在讨论几何学与三角学问题时，所有角的度数都在0°~360°这个范围内。但是，如果我们认真地观察单位圆，就会发现360这个数字没有什么特别之处。古巴比伦人之所以选择这个数字，可能是因为他们使用的是六十进制，而且这个数字与一年的天数比较接近。实际上，在数学和大多数科学领域，人们更喜欢使用“弧度”（radians）作为角的度量单位。弧度的定义是：
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2π弧度 = 360°
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或者
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1弧度 =
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对于“拥τ派”来说，由于τ= 2π，因此：
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1弧度 ==
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换算成数字的话，1弧度约等于57°。为什么弧度比度用起来更加得心应手呢？在一个半径为r的圆上，2π弧度的角对应的弧长就是整个圆周，即2πr。如果我们把这个角分成若干等分，我们得到的弧长就是2πr的若干分之一。具体来说，1弧度对应的弧长为2πr(1 / 2π) =r，m弧度对应的弧长为mr。总之，对单位圆而言，角的弧度与角对应的弧长相等。这非常方便！
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圆的弧度为2π
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在下图的单位圆中，我们以弧度为度量单位标出了一些常用的角。
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下面给出τ版本示意图，供大家比较。
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从上图可以发现部分数学界人士喜爱τ胜过π的原因。90°是1/4个圆，换算成弧度就是τ/4；120°是1/3个圆，换算成弧度就是τ/3。的确，人们之所以选择τ这个字母，是因为它很容易让人们联想到“turn”（一圈）这个单词。例如，360°表示一个圆圈，弧度是τ；60°表示1/6个圆圈，弧度是τ/6。
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此外，大家还会发现，用弧度替换度之后，三角函数的计算公式会变得简洁许多。例如，我们可以通过下列公式来计算正弦和余弦函数的值：
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sinx=x–x3/3! +x5/5! –x7/7! +x9/9! – …
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cosx= 1 –x2/2! +x4/4! –x6/6! +x8/8! – …
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但是，x必须以弧度为度量单位，上述公式才成立。在微积分中，我们将发现正弦函数sinx的导数就是其对应的余弦函数cosx。同样，前提条件也是x的单位必须是弧度。在画三角函数y= sinx和y= cosx的图像时，x通常以弧度为单位。
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sinx和cosx的图像，变量x以弧度为度量单位
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