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12堂魔力数学课 [:1700993761]
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12堂魔力数学课 复数的加减乘除运算
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利用“复平面”（complex plane），可以将复数表示成图像的形式。复平面与代数中的 (x,y) 平面非常相似，不过y轴被虚轴代替，上面有0、±i、±2i等数字，如下图所示。
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复平面上的点
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我在前文中说过，复数的加法、减法和乘法运算都非常简单。我们还可以把复数看作复平面上的点，然后进行几何运算。
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例如，我们以下面这道加法题为例：
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( 3 + 2i) + (–1 +i) = 2 + 3i
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从下图可以看出，以点0、3 + 2i、2 + 3i和–1 +i为顶点的四边形是一个平行四边形。
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通常，我们在用几何方法进行复数z、w的加法运算时，可以如上图所示，通过画平行四边形的方式达到我们的目的。在进行z–w的减法运算时，可以如下图所示先画出点 –w，再进行点z与点–w的加法运算。
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用画平行四边形的方式完成复数的加法与减法运算
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在用几何方法进行复数的乘法和除法运算时，首先需要确定它们的大小。我们把原点与点z之间线段的长度定义为复数z的“模”，记作|z|。具体来说，如果z=a+bi，那么根据勾股定理：
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|z| =
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如下图所示，点3 + 2i的模为。注意，3 + 2i对应的角θ满足tanθ= 2/3。也就是说，θ= tan–12/3 ≈ 33.7°，约为0.588弧度。
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复数z= 3 + 2i的模为 |z| =，角θ的正切函数tanθ= 2/3
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如果在复平面上画出模为1的所有点，如下图所示，就会得到一个单位圆。圆上的复数与角θ之间有什么关系呢？我们在第9章讨论过，笛卡儿平面上的这个点被记作 (cosθ, sinθ)。在复平面上，这个点变成cosθ+isinθ。同理，所有模为R的复数都可以写成：
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z=R(cosθ+isinθ)
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我们把它称作复数的“极坐标形式”。也许现在告诉你为时尚早，但是到了本章结尾，你就会知道它还等于Reiθ。（这算不算欧拉公式的“剧透”呢？）
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