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12堂魔力数学课 [:1700993762]
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12堂魔力数学课 e、复利与里氏震级
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如果你有科学计算器，请做一做下面这个实验。
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1．在计算器里输入一个你熟悉的七位数（可以是电话号码、证件号码，也可以将你喜欢的某个一位数字连续输入7次）。
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2．取这个数字的倒数（按下计算器的“1 /x”键）。
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3．将得到的结果加上1。
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4．对得数进行幂运算，指数为最初的那个七位数（按下“xy”键，然后输入最初的那个七位数，再按下等号键）。
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最终得数的前几位是不是2.718？如果得数的前几位与无理数e = 2.718 281 828 459 045…一致，我不会感到奇怪。
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这个神秘数字e到底有什么特殊之处？它为什么非常重要？在上面的小实验里，你实际上是在计算(1 + 1 /n)n的值，且n是一个比较大的数字。如果n不断增大，得数又会发生什么变化呢？一方面，随着n不断增大，数字 (1 + 1 /n) 将会越来越接近1。当1为底数时，无论指数是多少，幂运算的结果都是1。因此，有理由相信，对于大数n，(1 + 1 /n)n的值约等于1。例如，(1.001)100≈ 1.105。
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另一方面，即使n非常大，(1 + 1 /n) 仍然略大于1。如果底数是一个大于1的值，随着指数不断增大，得数将变成一个任意大的值。例如，(1.001)10 000的结果就大于20 000。
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问题是，在指数n增大的同时，底数 (1 + 1 /n) 正在减小。在1与无穷大的相持过程中，答案会逐渐接近于e = 2.718 28…。例如，(1.001)1 000≈ 2.717。下表列出了函数 (1 + 1 /n)n在n取较大值时的结果。
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我们把e定义为(1 + 1 /n)n在n不断增大时逐渐接近的数字。数学界把它称作当n趋于无穷大时(1 + 1 /n)n的极限值，记作：
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e =(1 + 1/ n)n
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如果用x/n替代1 /n，其中x为任意实数，那么随着n/x不断增大，(1 +x/n)n/x这个数字将会不断接近e。两边同时求x次幂[你还记得这个公式吧：(ab)c=abc]，就会得到所谓的“指数公式”（exponential formula）：
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(1 +x / n)n= ex
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指数公式有很多非常“有利可图”的应用。假设你的储蓄账户里有10 000美元，年利率为0.06。如果每年结算一次利息，那么截至第一年年底，你的账户里将会有10 000 ×1.06 = 10 600美元。截至第二年年底，你账户里的钱又会变成10 000 ×(1.06)2= 11 236美元。截至第三年年底，你的账户里有10 000 ×(1.06)3= 11 910.16美元。以此类推，到第t年年底，你的存款将会变成10 000 ×(1.06)t美元。一般来说，如果我们用利率r来替代6%，一开始时的本金是P美元，那么截至第t年年底，你的存款将会变成P(1 +r)t美元。
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现在，我们假设6%的利率是按半年复利的形式计算的，也就是说每6个月可得到3%的利息。那么，到第一年年底，你的存款为10 000× (1.03)2= 10 609美元，比年复利时的10 600美元多一点儿。如果是季度复利，那么每年可以结算4次利息，利率为1.5%，一年后的账户金额为10 000 ×(1.015)4= 10 613.63美元。一般而言，如果每年结算利息n次，那么一年后的金额是：
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10 000美元×（1+）n美元
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当n取非常大的值时，就叫作连续复利。如下表所示，根据指数公式，一年后的金额就会变成：
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10 000（1+）n=10 000e0.06= 10 618.36美元
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