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12堂魔力数学课 [:1700993764]
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12堂魔力数学课 完美至极的欧拉公式
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数字e的研究与推广得益于伟大的数学家莱昂哈德·欧拉，也是由欧拉来命名的。有人认为，欧拉之所以选择用字母e来表示这个数字，是因为这是他姓氏的首字母。尽管大多数数学史研究者都不同意这个说法，但还是有很多人把e称为欧拉数字。
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我们已经介绍了函数ex、cosx和sinx的无穷级数展开式，并将在下一章解释这些无穷级数的由来。在这里，我先对这些无穷级数做一个归总：
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这些公式在x为任意实数时均成立，但是欧拉勇于打破常规：如果令x为虚数，结果会怎么样？一个数的虚数次幂意味着什么？他的脑洞大开为我们带来了完美的“欧拉定理”。
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定理（欧拉定理）：对于任意角θ（单位为弧度），都有：
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eiθ= cosθ+isinθ
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证明：为了证明上式成立，我们将x=iθ代入ex的无穷级数展开式中：
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请大家观察i的不同次幂的特点：i0= 1，i1=i，i2= –1，i3= –i（因为i3=i2i= –i）。随后出现了重复现象：i4= 1，i5= i，i6= –1，i7= –i，i8= 1，以此类推。具体来说，我们可以看出在i的不同次幂中，实数与虚数交替出现。因此，我们可以通过下面的代数运算，消去偶数项中的i。
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至此，我们就可以证明本章开头介绍的“上帝的公式”了。令θ= π弧度（或180°），就有：
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eiπ= cosπ +isinπ = –1 +i(0) = –1
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但是，欧拉定理并没有就此止步。我们在前面已经见过cosθ+isinθ这个表达式，它是复平面单位圆上的一个点，与x轴正方向的夹角为θ。如下图所示，欧拉定理指出，我们可以用一个非常简单的方式来表示这个点。
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欧拉定理指出，单位圆上的所有点都可以表示成eiθ的形式
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惊喜还没有结束！欧拉定理指出，复平面上的所有点都与单位圆上的点成比例关系。具体来说，如果复数z的模为R，角为θ，那么这个点就是单位圆上对应点的R倍，即：
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z=Reiθ
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因此，如果复平面上有两个点z1=R1eiθ1和z2=R2eiθ2，那么根据指数法则（含有复数），我们可以得到：
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z1z2=R1eiθ1R2eiθ2=R1R2ei(θ1+θ2)
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上述结果表示的是一个模为R1R2、角为θ1+θ2的复数，我们再一次证明了复数的乘法运算法则：模相乘，角相加。我们在前文中证明这个定理的时候，用的是代数运算和三角恒等式，证明过程大约有一页纸的篇幅。现在，我们在用欧拉定理证明这个法则时，证明过程只有短短的一行字，因为我们有了e这个数字！
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最后，我要仿照乔伊斯·基尔默（Joyce Kilmer）的诗作《树》，为我们拥有这个极其重要的数字赋诗一首。同时，我希望乔伊斯·基尔默不要介意我这样做。
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我想我永远不会看到