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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004216]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 5.7 世界杯足球触手可及
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2014年巴西世界杯（2014 FIFA World Cup）是第20届世界杯足球赛。比赛于2014年6月12日至7月13日在南美洲国家巴西境内12座城市中的12座球场内举行。无数球迷对世界杯足球痴迷，对足球无限爱好。
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我们熟知的足球如图5-50所示。
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图5-50 足球
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【问题】
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足球上美丽的构图是如何形成的？
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在足球上一共有几个正五边形？有几个正六边形？它们是如何放置的？每个正五边形和正六边形的边长是多少？顶角各是多少度？面积是多少？
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足球有多少种自身的转动使得足球上的图案和它初始位置的图案重合？
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如何正确地画出足球的图案？
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在足球上如何放置测地正五边形和测地正六边形？在每个测地正五边形周围放置五个测地正六边形。在每个测地正六边形周围交替地放置测地正五边形和测地正六边形。这样的安置应该与正多面体有关。关系是怎样的？
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【分析】
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要彻底解决上述问题，需要首先了解下面的知识点，方能游刃有余的解决该类问题。
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（1）正多面体的种类
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正多面体的Euler公式：
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面数-棱数＋顶点数＝2
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正四面体：三边形，4，6，4，绕顶点面数3；
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正六面体：四边形，6，12，8，绕顶点面数3；
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正八面体：三边形，8，12，6，绕顶点面数4；
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正十二面体：五边形，12，30，20，绕顶点面3；
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正二十面体：三边形，20，30，12，绕顶点面5。
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（2）足球图案的构成
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以正二十面体的中心为球心作球面包围该多面体。
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从球心出发将正二十面体的表面投影到球面上得到球正二十面体，每个面是测地三边形。围绕每个顶点有五个测地三边形。
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