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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004229]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 6.10 椅子能在不平的地面放平吗
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【问题】把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，并且放稳。如何从数学上解释椅子四只脚为什么能在不平的地面放稳呢？
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【分析】
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为了较好的研究椅子放置问题，对该问题进行一定的假设，假设如下：
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（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形；
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（2）地面高度是连续变化的，地面可视为数学上的连续曲面；
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（3）对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
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用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来，用变量表示椅子的位置，考虑到椅脚连线呈正方形，且为中心对称图形，设此正方形为ABCD，如图6-15所示。
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图6-15 椅子四角放置平面图
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对角线AC与x轴重合，用中心点O的转角θ表示椅子的位置，用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，注意到对称性及有三个脚同时着地，故用距离之和来表示。
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设A、C两脚与地面距离之和为f（θ），B、D两脚与地面距离之和为g（θ），显然，
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地面可视为数学上的连续曲面，f（θ）和g（θ）都是θ的连续函数；椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，，f（θ），g（θ）至少有一个为零，即：
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为讨论方便起见，不妨设g（0）＝0，f（0）＞0。
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将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由g（0）＝0，f（0）＞0，得到，。
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而同时着地可表述为：
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，使
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这样椅子放稳问题可归结为如下命题。
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