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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004234]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 6.15 生日雷同
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美国数学家柏格米尼曾经做过一个别开生面的试验：在一个盛况空前的人山人海的世界杯足球赛赛场上，它随机地在某看台上请23个球迷分别写下了自己的生日，结果竟发现其中的两个人生日相同。
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【问题】怎么会这么凑巧呢？
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【分析】
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设随机选取s（≤365）个人，记A＝｛至少有两个人的生日相同｝，则＝｛所有人生日全不相同｝，则：
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因此，随着选取人数s（≤365）的增加，概率P（A）接近于1；当s＞365时，就成为一个必然事件。
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下面通过计算机程序模拟生日问题，即从1，2，…，365个整数中随机产生s（用户自己输入）个可重复的整数来模拟实验结果。
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步骤如下所示。
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Step1：产生s个随机数，统计结果；
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Step2：重复Step1多次，统计试验结果，并计算出现相同值的频率；
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Step3：改变s，重复Step1和Step2，每一种情况下的频率；
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Step4：绘制频率图和频率累计图并与理论结果比较。
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MATLAB程序如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 %利用均匀分布产生随机数模拟 s = 1:365; n=100; pv=[]; for k=1:365 success=0; for i=1:n %对每一个s，实验n次 y = floor(unifrnd(1,365,1,k)); %产生1到365之间的均匀分布随机数k个 %检查是否有相同的 minl = min(y); maxl = max(y); %最小、最大值求解 for j=minl:maxl ii = find(y==j); if(length(ii)>1) success = success +1; %相同加1 break; end end end %计算概率 pv(k)=success/n; %理论概率 gv =[]; end for i=1:365 gv(i)=1; for j=1:i gv(i)=gv(i)*(365-j+1)/365; end gv(i)=1-gv(i); end %绘制图像 hold on %图像句柄保持 box on %盒子显示 grid on %网格化 plot(s,pv,’.’) %绘制频率图 plot(s,gv,‘r-‘,‘Linewidth’,1.5) %绘制概率图 legend(‘频率’,‘概率’) xlabel(‘生日问题模拟’) hold off %放弃图像句柄保留功能
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运行程序输出图形如图6-27所示。
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图6-27 生日问题模拟结果
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当n＝20时，出项两个人的生日相同的概率已经升至0.41，因此柏格米尼的发现也就不足为怪了。从图6-27中可以看到，无论是理论结果还是模拟结果，当观察的人数超过50人之后，几乎一定会出现生日相同的人。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004235]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 6.16 足球门的危险区域
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足球，世界第一运动，是全球体育界最具影响力的单项体育运动。标准的足球比赛由两队各派11名队员参与，包括10名球员及1名守门员，互相在长方形的草地1球1分，当比赛完毕后，得分最多的一队则代表胜出。如果在比赛规定时间内得分相同，则须看比赛章则而定，可以抽签、加时再赛或互射点球（十二码）等形式比赛分高下。足球比赛中除了守门员可以在己方禁区内利用手部接触足球外，球场上每名球员只可以利用手以外的身体其他部分控制足球（开界外球例外）。
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