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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004235]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 6.16 足球门的危险区域
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足球，世界第一运动，是全球体育界最具影响力的单项体育运动。标准的足球比赛由两队各派11名队员参与，包括10名球员及1名守门员，互相在长方形的草地1球1分，当比赛完毕后，得分最多的一队则代表胜出。如果在比赛规定时间内得分相同，则须看比赛章则而定，可以抽签、加时再赛或互射点球（十二码）等形式比赛分高下。足球比赛中除了守门员可以在己方禁区内利用手部接触足球外，球场上每名球员只可以利用手以外的身体其他部分控制足球（开界外球例外）。
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具体的足球球场界线和设计以及球场界线公制尺寸如图6-28和图6-29所示。
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图6-28 球场界线及设计 图6-29 球场界线公制尺寸 足球比赛中，对于球门的守防显得至关重要，球员在场地上奔跑和抢夺球，归根结底就是射球进门得分，因此对于足球门危险区域分析显得尤为重要，至少可为实际应用提供一定的参考依据。
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足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不一样的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。
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已知标准球场长104米，宽69米；球门高2.44米，宽7.32米。简化的球门场地示意图如图6-30所示。
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图6-30 球门场地示意图
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其中，π—球门所在的平面，A（x，y）—球场上的射门点，B（x，y）—球门内的点。
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实际中，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可认为这种差别不大。另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。那么，足球门的危险区域的危险程度分布情况如何呢？
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【问题】足球门的危险区域如何计算模拟？
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【分析】
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考虑在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步的研究。
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（1）在理想状态下，认为球员之间的基本素质相同，或差别不大；
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（2）不考虑球员射门后空气和地面对球速的影响，设球速为10m/s；
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（3）球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域；
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（4）只考虑标准球场：（104×69）m2和球门：（7.32×2.44）m2；
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（5）球射向球门的路径均为直线，不考虑抛物线的情况。
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要确定足球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球成功的足球门中的区域。这样我们必须先研究球员在任一点位置射门时，进球成功的可能性的大小。球员无论从哪个位置射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件。不同的一点在于在不同的位置射门进球成功的可能性的大小不一样。影响球员进球成功率的因素有很多，其中最重要的是球员的基本素质（技术水平）和射门时所在位置。对于每个球员来说，基本素质短期内是不可以改变的，所以我们认为球员的基本素质一样，或者差距不大。因此，我们在确定的条件下，对球员射门时所在位置进行分析，研究球员射球时所在位置的不同与进球成功率的相互关系，即球员对球门的威胁程度。
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在没有守门员的情况下，球员在某一位置向球门射球时，该球员射球所在位置到球门的距离决定了进球成功的概率。球员在球场上进球成功时，其射球时所在位置点将呈现一个固定的概率分布，稍作分析容易判断，该分布是正态分布。这里我们将球员在球场上任意位置射门的路径分解为水平方向和竖直方向，将两个方向命中球门的概率简单相乘，就可以得到球员在球场上某一点射中球门的概率，这个概率就可以用来定义该点对球门的威胁度。
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假设守门员站在射门点与两球门柱所夹角平分线上，即守门员站在球门垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最佳防守位置。球员在球场上某点对球门内任意一点起脚射门，经过时间t到达球门平面，球到达该点时，守门员对球都有一个扑到球概率为。下面先分析一下这个函数的形式。
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