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数学世界的探奇之旅 [:1701011754]
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数学世界的探奇之旅 第12章 康托尔：让一众科学家挠头的无穷大
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无穷大这个概念一直令人耿耿于怀，其实并不奇怪。从古希腊时期开始，人们就开始思考无穷大是否存在、本质是什么的问题。古希腊人肯定知道，用于计数的正整数序列没有尽头。如果真的有最大的整数（我们用max来表示这个数），就必然有max+ 1、max+ 2等更大的数。但是，无穷大概念让古希腊人很不舒服，他们用来表示这个概念的“阿派朗”（apeiron）一词就有混乱的含义。
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哲学家亚里士多德就曾对这个概念进行过研究，他的观点在随后几百年时间里一直占据主导地位。公元前384年，亚里士多德出生于希腊北部。他认为，无穷大具有必然性，但是又无法达到。他从世间万物中找到了一些他认为属于无穷的例子，例如，他认为整数（我们已经知道整数是无穷的）和时间就是无穷的。此外，他还认为有的东西是无限可分的。但是，与此同时，他又提出了几个含混不清的观点，想证明无穷大不可能存在于现实世界中。例如，他说任何物体都有边界，如果某个物体是无穷大的，它就不可能有边界，也就不可能存在。
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在明显经过一番艰苦的心理斗争之后，亚里士多德最终断定无穷大不是一种存在于现实世界的概念，而是一种潜在的可能性，在现实中永远无法实现。无穷大是存在的，但是不能根据需要变为现实。他以古代奥运会比赛为例，简单明了地介绍了自己的这个想法。比赛毫无疑问是存在的，肯定不是一个虚构的概念。但是，一般而言，如果有人请你把奥运会比赛展示给他看，你肯定做不到。因此，奥运会比赛就是一个潜在的实体，你没有办法仔细端详，小心鉴别。亚里士多德小心翼翼地指出，尽管某些潜在实体在特定时间或特定空间里会变成现实，但是无穷大不包括在内。
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牛顿和莱布尼茨创立微积分的时候，使用的正是潜无穷的概念（参见第9章）。微积分中的无穷大是一种极限。我们非常熟悉的双纽线符号（∞），表示的就是这种可望而不可即的目标，也就是亚里士多德所讲的潜无穷。与牛顿同时代的约翰·沃利斯在一篇枯燥乏味的论文中第一次使用了这种符号。但是，沃利斯仅仅说了一句“用∞表示无穷大”，却没有解释这个符号从何而来。
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直到19世纪，绝大多数数学家都认为亚里士多德的观点是正确的。他们普遍认为，潜无穷这个概念是正确理解无穷大的唯一可行的途径。例如，享有盛名的19世纪德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯明确地说：
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我反对将无穷量视为一个实体，这在数学中从来都是不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式，其真正的意义是指某些比值无限接近于某个极限，而另一些比值则可以无限增大。
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但是，并不是所有数学家都被这种思想蒙蔽了双眼，伽利略就是这些异类中最引人注目的一个。一说到伽利略，我们首先想到的是他因为支持哥白尼的日心说而受到宗教裁判所的审判并被终身监禁。但是，伽利略对科学领域做出的最重要的贡献其实是他于1638年出版的《两种新科学的对话》。这是他在物理学领域的代表作，为牛顿成功完成关于力学和运动的研究奠定了基础。
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同他支持哥白尼的日心说、给他带来无数麻烦的那部著作一样，这部新作也采取了三人对话的形式（这在当时十分流行）。它放弃了古板的拉丁语，改用意大利语，可读性远胜牛顿用专业术语撰写的几乎无法理解的作品。在此之前，伽利略因为出版著作已经被判终身监禁，这本书可以成功出版的确不是一件易事。最初，伽利略准备在威尼斯出版这本书。当时，威尼斯因为从罗马帝国独立出去而自视甚高。但是宗教裁判所发出了一系列禁令，禁止出版伽利略的所有作品。伽利略只有获得宗教裁判所的批准，才能出版自己的这部新作。
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顽强不屈是伽利略最显著的特点。尽管受到禁令的限制，而且间接违反禁令的钻空子行为将会为他带来危险，但伽利略没有放弃。1636年，荷兰出版商洛德韦克·埃尔泽维尔造访意大利，伽利略想办法把手稿送给他看。在最终付梓成书时，人们发现它的献词非常有意思。之前，伽利略每次都会把他的作品献给权势人物，而且从不吝啬他的赞美之词（很可能是因为当时谄媚成风）。作为交换，他有可能得到对方的资助。但是，这本书却被献给了他以前的学生、法国驻罗马大使弗朗索瓦·德·诺瓦耶，而且他在写献词时十分小心。显然，他绝不希望给诺瓦耶惹来麻烦。
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从字里行间可以看出伽利略既有简单直接的一面，又有迂回曲折的一面。宗教裁判所受他蒙骗的可能性非常小，但他们似乎并不是很重视这件事。伽利略称：
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我已经决定不再出版任何成果。但是，为了我的研究不被彻底遗忘，我觉得有必要在某个地方留一份手稿，至少让那些研究相同内容而且方法得当的人有机会看到它。因此，我首先想到要将我的研究成果交到阁下手中……
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伽利略既感谢诺瓦耶的热心帮助，又不想让人们认为诺瓦耶是负责这本书的出版事宜的人，因此，他抛出了几个神秘的中间人：
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埃尔泽维尔告诉我他们准备出版我的这些成果，要求我起草献词并且立刻做出答复。这些出版商曾经出版过我的一些成果，因此他们希望继续出版我的这项成果，并把它变成漂亮的精装版书籍。这个消息让我深感荣幸，也有些措手不及。我知道，他们能拿到我的手稿，是因为阁下为了帮助我恢复和传播名声而把我的成果介绍给了几位好友。
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他对诺瓦耶心怀感激，同时又表示，手稿到达出版商的手里是诺瓦耶的几位不知名的朋友促成的。很显然，伽利略在这本书即将付印时才收到消息的说法是不真实的。早在埃尔泽维尔造访意大利时，伽利略就想尽办法把书稿送到了他手上。不仅如此，他和埃尔泽维尔还有书信往来，就这本书的内容进行过深入探讨。伽利略是一位令出版商咬牙切齿、捶胸顿足的作者，因为不到最终出版他都不会停止修改书稿。即使在采用电子印刷技术的现代，这种行为也会导致相当大的麻烦。而在当时，人们必须利用活字印刷术小心翼翼地将所有书页制成一个个印刷版，因此，任何修改都是一场可怕的噩梦。然而，无论是因为宗教裁判所遭受了蒙蔽，还是因为他们睁一只眼闭一只眼，这本书最后还是成功出版了，但伽利略的祖国意大利并没有公开发售。
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书名中所说的“两门新科学”是指对固体物质的本质研究与对运动的分析，无穷大的概念出现在这本书的第一部分。在分析固体物质紧密结合在一起的原因（例如，金属块为什么难以分割）时，书中的一位主角认为，构成这些固体物质的粒子之间的真空将它们紧密地吸附在一起。（真正的原因其实是电磁作用，因此他的这个观点是不正确的，但听起来有些道理。）这个说法遭到了辛普利西奥（书中三个人物之一）的质疑，辛普利西奥是古希腊思想的信徒，他的任务就是质疑新思想。他认为，由于空间十分狭小，即使有真空存在，作用力也会非常小，远不足以让金属紧密地吸附在一起。
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于是，三个人继续思考。很多微弱的作用力加到一起，是不是可以变成一股异常强大的作用力呢？三人中的萨格雷多说：“也就是说，数量庞大的蚂蚁群可以抬起装满谷物的船。”他认为，无数个微小的作用力加在一起，就可以克服任何阻力，只要这个阻力不是无穷大的。萨格雷多的“只要这个阻力不是无穷大的”这个条件，遭到了萨尔维亚蒂的嘲笑。萨尔维亚蒂在这本书中主要是扮演伽利略的代言人，他说，即使一个物体的大小有限，其内部也完全有可能存在无穷多个真空。
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这似乎是一种托词，伽利略的真正目的可能是提出几个与无穷大有关的有趣想法，因为他接下来又用大量篇幅探讨了无穷大的本质。与亚里士多德提出的那个说服力不足却令数学界认可了很多年的潜无穷概念不同，伽利略给出的是一个实实在在、没有任何掩饰的事实。他画了一个想象出来的奇怪的组合图形，用来说明无穷大的神奇特性。
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这个组合图形是由大小不同的两个六边形组成的，小的六边形贴在大的六边形前面，6个角对齐，都位于水平轨道上。然后，萨尔维亚蒂请另外两个人想象着把这两个六边形转动1/6圈。这个六边形“车轮”向前移动的距离应该等于大六边形的边长，因为现在是第二条边在最下面。这个结果没有什么稀奇的地方。但是，我们知道小六边形的边长要短得多。小六边形沿着轨道转动了1/6圈，因此它移动的距离应该是小六边形的边长，但是实际上，它前进的距离却等于大六边形的边长。
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这个现象并不难解释。大六边形转动时，小六边形就会从轨道上被抬起，向前跳跃，跳跃的距离正好等于这两个六边形边长的差。因此，小六边形不仅向前移动了一个边长的距离，还向前跳跃了一段距离，两者之和正好等于大六边形的边长。
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到目前为止，这个解释没有任何问题。接着，伽利略想，如果多边形的边数不断增加，结果会怎么样呢？随着边数增加，车轮转动1/6圈时，大多边形就会有更多的边参与这个过程，同时，小多边形需要完成更多次的小幅跳跃。在接下来的想象中，伽利略展现了他的聪明才智。他不断增加多边形的边数，直至车轮变成圆形。此时，多边形的边数实际上变成了无穷大。在这种情况下，如果整个车轮转动1/6圈，小车轮也会转动1/6圈，但是它仍然可以与大车轮保持同步，向前移动相同的距离。此时，由于车轮是标准的圆形，因此它应该不会在轨道上跳动。
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