1701015069
数学文化教程 [:1701013719]
1701015070
数学文化教程 第四节 橡皮几何：拓扑结构
1701015071
1701015072
古老的橡皮几何游戏是让游戏者在保持曲面的光滑和完整的前提下，将其任意地变形、弯曲、伸缩和扭转，想象变形后的曲面会是什么样子？一个自行车轮胎状的环面是否会变形为一个球面？这些研究到19世纪发展成为一门新的数学分支——拓扑学。
1701015073
1701015074
1.拓扑学大意
1701015075
1701015076
假设我们的图形是用橡皮做成的，可以使图形作各种连续变形。我们要求图形在变形的过程中保持连续而不致破裂，即原来图形上的一个点不能变成两个或两个以上的点；同时要求，图形上的点不能产生“黏合”，即原来两个不同的点在变化后都不能“黏合”成一个点。变形只是使图形的某些部分扩伸了，而另一些部分压缩了。
1701015077
1701015078
一般地说，图形在连续变形时大小、长短、形状都会改变，但是有些性质却保持不变。例如，我们可以把一根圆形的橡皮圈拉长为一个狭长的椭圆形，也可以把它变成正方形的形状，或者变成其他奇形怪状的曲线。图3.4.1（a）画出了一些它可能变成的形状。但是圆形的橡皮圈不能变成图3.4.1（b）中的“8”字形和三叶瓣曲线。
1701015079
1701015080
若要变成“8”字形，必须把原先两个不同的点黏合为一个点；要变成三叶瓣曲线，必须把原先三个不同的点黏合为一个点。而这违反了“不能黏合”的变化规定。我们把所规定的变形（即可以拉伸压缩、扭曲，不能黏合）称为“拓扑变换”（数学中的拓扑变换比这种直观的变形还要广一些）。在这种变换下不变的性质称为“拓扑性质”。图中的圆周在其变形过程中所保持的不变性质就是只有一个环，这是圆周的拓扑性质。“8”字形和三叶瓣曲线分别有2个和3个环，与圆周有不同的拓扑性质。拓扑学以图形的拓扑性质作为自己的研究对象。
1701015081
1701015082
现在考察一个球面。我们仍然把它设想为一个可以变形的橡皮球。用拓扑变换把它变成不同的形状（图3.4.2是其中的一些）。
1701015083
1701015084
但是我们不能把它变成像救生圈那样的环面。事实上，在拓扑变换下球面有两个不变的性质，即两个拓扑性质：
1701015085
1701015086
1）球面是闭曲面，它没有边界。（像救生圈那样的环面也没有边界，圆盘面是有边界的，圆柱面、圆锥面也是有边界的。）
1701015087
1701015088
2）如果沿着球面上的任何一条闭曲线切开橡皮球，橡皮球就会分成互不连接的两部分。（像救生圈那样的环面就不具有此性质。当沿着环面
1701015089
1701015090
1701015091
1701015092
1701015093
▲ 图3.4.1 一根圆形橡皮圈的可能和不可能变形
1701015094
1701015095
1701015096
1701015097
1701015098
▲ 图3.4.2 橡皮球的可能变形
1701015099
1701015100
的子午线切开时，环面就变成一个弯曲的圆筒形（图3.4.3），而这个圆筒形又可以用拓扑变换变成圆柱形的侧面。）这是球面与圆环面不同的拓扑性质。
1701015101
1701015102
在拓扑学中，用“连通阶”的概念来描述曲面的差别。
1701015103
1701015104
沿着子午线切开像救生圈那样的环面时，环面不会分开为两个互不连接的部分。这时我们说，环面上的子午线“不形成对曲面的划分”。
1701015105
1701015106
在环面上，经线也不形成对曲面的划分（见图3.4.4）。
1701015107
1701015108
在环面上可以找到两条闭曲线，一条是子午线，一条是经线，它们组合起来仍不能形成对曲面的划分。但是，在环面上不可能找到第三条闭曲线，使这三条曲线合起来不形成对曲面的划分。这也就是说，环面上的任何三条闭曲线必定分环面为两个互不相连接的部分。这时拓扑学定义环面的连通阶为2。
1701015109
1701015110
对一般曲面，连通阶定义为曲面上能不形成对曲面划分的最多闭曲线的数目。对球面而言，其连通阶为0。如图3.4.5那样的面包和双柄壶，其连通阶都是4。一般地，若在球面上开2p个小洞，然后按两个一组配成p组，对每一组沿洞的边缘粘上一个圆柱面，这样得到了一个有p个把柄的球面。这样的曲面的连通阶是2p。环面就是p=1的情况。数学家们证明，空间的闭曲面可以按连通阶分类：任何两个相同连通阶的曲面可以从一个用拓扑变换变成另一个。
1701015111
1701015112
1701015113
1701015114
1701015115
▲ 图3.4.3 环面切开后变成一个弯曲的圆筒形
1701015116
1701015117
1701015118