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数学文化教程 第一节 《道德经》与自然数公理
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数学是一种独特的理性文化:它的表达形式是“冰冷的美丽”,但是原始的过程是“火热的思考”。《道德经》的数字意境和近代的自然数公理十分接近。
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古人结绳计数,可以记录从大自然捕获的猎物的数量。西方称之为自然数(natural numbers)。德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker,1823—1891)有句名言:“上帝创造了自然数,其他的数都是人造的”。大自然就是上帝。
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什么是自然数?老子《道德经》说得明白:
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“太初有道”,“道生一,一生二,二生三,三生万物”。
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这里,包含了自然数的三个特征,需要我们再认识。
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1.自然数从0开始;“道”相当于0。
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2.自然数一个接一个;由0到1,由1到2,再由2到3,后者是前者的继续。一个接一个,是自然数的特征。分数(有理数)、实数就没有这样的特征了。
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3.自然数系是无限的;三生万物,这里的“万”泛指无穷之多,永无穷尽。
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愚公移山故事也说:“子又生孙,孙又生子;子又有子,子又有孙;子子孙孙无穷匮也,而山不加增,何苦而不平?”这里的“无穷匮”恰和自然数不断后续的意境相通,即子子孙孙构成了一个无限的自然数集。
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现在让我们来看19世纪意大利数学家佩亚诺(Giuseppe Peano,1858—1932)给出自然数公理。其主旨是用“后继”的操作,描述自然数。佩亚诺的这五条公理是
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(1)1是自然数;
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(2)每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a′,a′也是自然数;
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(3)如果b、c都是自然数a的后继数,那么b=c;
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(4)1不是任何自然数的后继数;
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(5)任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n′也真,那么,命题对所有自然数都真(这条公理保证了数学归纳法的正确性)。
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若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。
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只要稍微对照一下,就可以看到《道德经》里关于自然数的叙述,和佩亚诺公理的内涵非常接近。
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20世纪初,集合论成为研究的热点。于是,大数学家冯·诺依曼根据佩亚诺公理,用集合语言把自然数直接构造出来。他从一个空集 出发,给出每一个自然数的后继:即此前所有集合为元素的集合。具体过程如下:
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空集 表示0;
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以空集 为元素的集合{}表示1;
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以 和{}为元素的集合{,{}}表示2;
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以,{}和{,{}}为元素的集合{,{},{,{}}}表示3;
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以前面N个集合为元素构成的新集合,表示N+1
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