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数学文化教程 第一节 《道德经》与自然数公理
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数学是一种独特的理性文化：它的表达形式是“冰冷的美丽”，但是原始的过程是“火热的思考”。《道德经》的数字意境和近代的自然数公理十分接近。
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古人结绳计数，可以记录从大自然捕获的猎物的数量。西方称之为自然数（natural numbers）。德国数学家克罗内克（Leopold Kronecker，1823—1891）有句名言：“上帝创造了自然数，其他的数都是人造的”。大自然就是上帝。
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什么是自然数？老子《道德经》说得明白：
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“太初有道”，“道生一，一生二，二生三，三生万物”。
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这里，包含了自然数的三个特征，需要我们再认识。
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1.自然数从0开始；“道”相当于0。
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2.自然数一个接一个；由0到1，由1到2，再由2到3，后者是前者的继续。一个接一个，是自然数的特征。分数（有理数）、实数就没有这样的特征了。
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3.自然数系是无限的；三生万物，这里的“万”泛指无穷之多，永无穷尽。
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愚公移山故事也说：“子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”这里的“无穷匮”恰和自然数不断后续的意境相通，即子子孙孙构成了一个无限的自然数集。
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现在让我们来看19世纪意大利数学家佩亚诺（Giuseppe Peano，1858—1932）给出自然数公理。其主旨是用“后继”的操作，描述自然数。佩亚诺的这五条公理是
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（1）1是自然数；
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（2）每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a′，a′也是自然数；
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（3）如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；
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（4）1不是任何自然数的后继数；
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（5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n′也真，那么，命题对所有自然数都真（这条公理保证了数学归纳法的正确性）。
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若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。
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只要稍微对照一下，就可以看到《道德经》里关于自然数的叙述，和佩亚诺公理的内涵非常接近。
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20世纪初，集合论成为研究的热点。于是，大数学家冯·诺依曼根据佩亚诺公理，用集合语言把自然数直接构造出来。他从一个空集 出发，给出每一个自然数的后继：即此前所有集合为元素的集合。具体过程如下：
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空集 表示0；
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以空集 为元素的集合{}表示1；
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以 和{}为元素的集合{，{}}表示2；
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以，{}和{，{}}为元素的集合{，{}，{，{}}}表示3；
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以前面N个集合为元素构成的新集合，表示N+1
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