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数学文化教程 [:1701013740]
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数学文化教程 第八节 累积微分，溯源整体
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大自然是局部与整体的统一。近看大海汹涌澎湃，远看则风平浪静；宏观地看长江，整体上是“一江春水向东流”。可是如果局部地看，却是千折百回。整体是由局部构成的。把局部研究透了，自然能够获得更多的整体信息。
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微分学由整体出发，深刻地揭示函数在一点的局部性质。很自然地设想，如果把局部性质研究清楚了，必能反过来更深刻地理解函数的整体性质。这就是说，微分的含义是“细分入微”，进一步的思考则应该是“见微知著”，将函数f（x）各点的微分累积起来，从而了解整体。这样的思考，就走进积分学的范围了。古语云：“譬如积薪，后来居上”。从“积薪”到“积分”，共同的意境是“累积”。
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这一节将从考察曲线图形的面积开始，研究微分学的反问题：在已知函数f（x）各点的局部变化率之后，如何求知其总体变化。
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1.可以意会难以言传的“面积”概念——古代求曲线图形面积之艰难面积是一个相当原始的直觉概念。从牙牙学语起，就知道哪张馅饼大，哪块蛋糕小。不过，到高中毕业，能够求出面积的几何图形，不过是直线构成的图形（即矩形、平行四边形、三角形、多边形等）和圆而已。
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求一般曲线构成的图形面积，很难。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”古代中国刘徽的割圆术，以及古希腊阿基米德求抛物线弓形面积，都是很精彩的古代数学计算精品。两者克服困难的处理方法不同，各有千秋。然而，这两个当年难度很大的研究，一旦登上微积分的高峰一看，简直就成了“小菜一碟”，不过是一种统一方法的两个特例而已。
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（1）刘徽的割圆术
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圆周率（即圆的周长与直径之比）的计算，是古代各大文明几乎都会遇到的困难问题。在中国古代早期，人们通常采用“周三径一”的比值；这与实际的圆周率有大约百分之五的误差，用于田地测量、木器制作等日常计算已足够。两汉时期（约公元前后200年间），在天文计算和建造标准容器时，则会采用更精确的圆周率——3.15左右；但这些数值很可能来自经验或物理方法，而非从数学或几何原理推出。
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在中国古代数学经典名著《九章算术》中，除了使用“周三径一”的圆周率，还给出了“半周半径相乘”的圆面积计算公式。这个公式是正确的，但书中并没有证明。
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魏晋时期数学家刘徽（约225—295，图5.8.1），在作《九章算术》注时，首次给出了圆面积公式的严格证明，并在此基础上，创造了计算圆周率的“割圆术”。
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刘徽首先指出，直径二尺之圆内接正六边形的每边长正好等于半径（一尺）；所以“周三径一”实为正六边形的周长与直径之比，而非真圆周率。接着指出，正六边形的边长乘以半径再乘3，就得到正十二边形的面积（见图5.8.2）；同样道理，将正十二边形的边长乘以半径再乘6，得到正二十四边形的面积；如此下去，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割”，则正多边形的周长“与圆周合体而无所失也”；这就证明了“半周半径相乘”的圆面积公式。然后，刘徽反复运用勾股定理和开方术，依次计算了正3×2n边形（n=2，3，4，5，6）的边长和面积；并由此求得圆周率的近似值3.14，该值后被称为“徽率”。
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两百多年后，南北朝时期数学家祖冲之（429—500，图5.8.3）改进了刘徽的方法，算得3.141 592 6＜圆周率＜3.141 592 7；并给出以分数形式表示的约率。祖冲之的具体计算方法已失传。但可以验证，只要继续运用刘徽的“割圆术”，直至算出正3×2[2]2边形的边长，就能达到祖冲之的计算精度。
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祖冲之的成就远远超出了当时世界数学的水平。他所给出的8位精度的圆周率，直到960年后，才被波斯数学家卡西（Jamshīd al-Kāshī，1380—1429）超越。后者计算了正3×228边形的边长，并由此得到17位精度的圆周率。祖冲之的密率与圆周率的误差小于0.000001！是分母在16604以内逼近圆周率的最佳分数，欧洲数学家在1100多年后才知道它。
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（2）阿基米德的弓形面积计算1
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如图5.8.4所示，古希腊数学家阿基米德证明了，抛物线弓形ACB的面积等于 ABC面积的倍。
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▲ 图5.8.1 刘徽
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▲ 图5.8.2 “割圆术”示意
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▲ 图5.8.3 祖冲之
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首先，他证明了弓形ACB可以被一连串的三角形所“穷尽”。这一连串三角形的作法如下（见图5.8.4）：从AC、BC的中点K、L各作抛物线对称轴的平行线，分别交抛物线于P、Q，得 APC和 BQC，填充于弓形与 ABC之间的空隙处。依同法，从AP、CP、CQ、BQ的各中点作抛物线对称轴的平行线，交抛物线于四点，而又可得四个三角形填充于所剩下的空隙。如此反复进行，就可以得到一连串的三角形。