1701043112
基础拓扑学讲义 [:1701040213]
1701043113
§3 拓扑流形与闭曲面
1701043114
1701043115
3.1 流形
1701043116
1701043117
球面、环面以及我们熟悉的其他曲面从整体上看比平面复杂多了，但是在局部上，它们每一点的近旁都有一块区域同胚于平面．这种特性使得我们可以在局部的范围内应用分析学工具对它进行研究．粗略地讲，具有局部欧氏特性的拓扑空间称之为流形．它是近代数学最重要的基础概念之一．它不仅在几何学科中占有重要地位，在分析学科和应用数学中也是重要研究对象．流形是比较复杂的概念，在不同的研究领域还要求它带有各种特殊的结构．下面定义的拓扑流形是最一般的流形．
1701043118
1701043119
1701043120
定义3.3 一个Hausdorff空间X称为n维（拓扑）流形，如果X的任一点都有一个同胚于En或开邻域．
1701043121
1701043122
1701043123
这里是半个n维欧氏空间，规定为
1701043124
1701043125
1701043126
∶＝｛（x1，x2，…，xn）∈En｜xn≥0｝．
1701043127
1701043128
1701043129
按照这个定义，En本身就是一个n维流形，Sn，Dn和Tn等也都是n维流形．而二次锥面并不是流形，除非把锥顶去掉，因为锥顶的任一邻域不同胚于E2或（请读者证明）．
1701043130
1701043131
设M是n维流形．点x∈M如果有同胚于En的开邻域，就称x是M的内点（注意此概念区别于第一章给出的子集内点的概念），否则称为边界点．全体内点的集合称为M的内部，它是M的一个开集．
1701043132
1701043133
1701043134
1701043135
要让以上概念明确，我们还必须承认一些事实．譬如，n≠m时（否则流形的维数就失去意义了）；还有，（否则就没有内点与边界点的区分了）．这些事实现在还不能证明，以后将用基本群或同调群工具予以证明．
1701043136
1701043137
从定义不难看出，流形满足C1公理（习题1），它还是局部道路连通和局部紧致的（习题6）．
1701043138
1701043139
如果n维流形有边界点，则记∂M是它的边界点的集合．可以证明∂M是一个没有边界点的（n－1）维流形．
1701043140
1701043141
3.2 闭曲面
1701043142
1701043143
二维流形称为曲面．如E2，S2，T2，平环和Möbius带都是曲面．前三个没有边界点．
1701043144
1701043145
定义3.4 没有边界点的紧致连通曲面称为闭曲面．
1701043146
1701043147
S2和T2都是闭曲面．E2不是闭曲面．D2，平环和Möbius带不是闭曲面，因为它们有边界点（下章证明，现在只能从直观上接受）．
1701043148
1701043149
1701043150
1701043151
射影平面P2是闭曲面，它的紧致性与连通性明显．只须验证每一点有开邻域同胚于E2．将它看作D2粘合S1上对径点的商空间．记p∶D2→P2是粘合映射．如果点y∈P2在p下的原像是D2的一个内点x，则是y的开邻域．如果p-1（y）是S1上一对对径点x与x′，取U＝B（x，ε）∪B（x′，ε），ε＜1（图3-16），则（读者自己证明），是y的开邻域．
1701043152
1701043153
1701043154
1701043155
1701043156
图3-16
1701043157
1701043158
1701043159
1701043160
1701043161
图3-17