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1701043241 基础拓扑学讲义 [:1701040214]
1701043242 §4 闭曲面分类定理
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1701043244 空间的拓扑分类(按同胚关系分类)自然是拓扑学中的一个重要问题.但是拓扑空间如此多样,不能奢望对此问题有完全的解答.即使是解决某些特定空间的分类问题的结果也是很少的.然而,闭曲面的拓扑分类问题却已得到完美的解决.闭曲面是流形中最有用的部分,它的分类定理的重要意义就更加明显了.
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1701043246 完成闭曲面分类定理的全部证明必须应用代数拓扑的结果.本章中我们用商空间方法给出它的部分证明,剩下部分放在下一章完成.
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1701043248 4.1 闭曲面分类定理的叙述
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1701043250 上节我们已介绍了两大类闭曲面:可定向闭曲面{nT2|n为非负整数}(n=0时为球面)和不可定向闭曲面{mP2|m∈N}.
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1701043252 定理3.4(闭曲面分类定理) {nT2}和{mP2}不重复地列出了闭曲面的所有拓扑类型.
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1701043254 定理的结论有两部分:
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1701043256 (1)任一闭曲面或属nT2型(对某个非负整数n),或属mP2型(对某个正整数m).
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1701043258 (2)∀n,m,nT2≠mP2;当n≠n′时,nT2≠n′T2;当m≠m′时,mP2≠m′P2.
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1701043260 (2)的证明要用到基本群或同调群,现在不能进行.下面只对(1)证明.
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1701043262 4.2 闭曲面分类定理结论(1)的证明
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1701043264 1.闭曲面的多边形表示
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1701043266 §3中已说到,一个偶数边的多边形Γ如果把边成对的粘接,则得到的商空间为闭曲面.记φ是所说的粘合关系.如果Γ在φ之下的商空间同胚于闭曲面S,就说Γ和φ一起构成S的一个多边形表示,记作(Γ,φ).粘合关系φ可以按下面约定在Γ上表出:要粘接的边对标以同一字母,并用箭头表示粘接方式.图3-25中列举了四边形上所有可能的粘合关系.其中(a)是环面的表示,(c)是P2,(b)和(d)都是Klein瓶.(e)和(f)请读者自己判断.
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1701043271 图3-25
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1701043273 描述一个表示的另一方法是选定Γ的一个顶点和一个转向(逆时针或顺时针),然后依次写出标在各边上的字母,并在右上角加或不加-1来表明其方向与转向相逆或一致.例如若取左下角顶点和逆时针方向,则图3-25中的(b),(c),(e)分别写出为
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1701043275 aba-1b,abab,aabb-1.
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1701043277 引理1 任一闭曲面都有多边形表示.
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1701043279 这个引理的断言将是我们的论证的出发点.引理的证明要用到1925年T. Rado的一个经典结果:闭曲面是可三角剖分的,涉及到本书第六章中的概念.证明本身是初等的,但比较冗长,这里略去了.
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1701043281 显然,有相同形式的多边形表示的闭曲面是相互同胚的.这给出了判定闭曲面同胚的一个途径.但是,每个闭曲面有许多不相同的多边形表示,这给上述判定方法的使用造成了困难.为此,我们提出“标准多边形表示”这个概念,在这种表示中,要求粘合法则有一定的规律.标准多边形表示有两类,它们用文字形式写出为
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1701043286       a1a1a2a2…amam.     (Ⅱm)
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1701043288 我们下面将证明,除球面外,任一闭曲面都有标准表示;并说明有(Ⅰn)这种表示的是nT2型曲面,有(Ⅱm)这种表示的是mP2型曲面.
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1701043290 2.多边形表示的标准化
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