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基础拓扑学讲义 [:1701040214]
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§4 闭曲面分类定理
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空间的拓扑分类（按同胚关系分类）自然是拓扑学中的一个重要问题．但是拓扑空间如此多样，不能奢望对此问题有完全的解答．即使是解决某些特定空间的分类问题的结果也是很少的．然而，闭曲面的拓扑分类问题却已得到完美的解决．闭曲面是流形中最有用的部分，它的分类定理的重要意义就更加明显了．
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完成闭曲面分类定理的全部证明必须应用代数拓扑的结果．本章中我们用商空间方法给出它的部分证明，剩下部分放在下一章完成．
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4.1 闭曲面分类定理的叙述
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上节我们已介绍了两大类闭曲面：可定向闭曲面｛nT2｜n为非负整数｝（n＝0时为球面）和不可定向闭曲面｛mP2｜m∈N｝．
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定理3.4（闭曲面分类定理） ｛nT2｝和｛mP2｝不重复地列出了闭曲面的所有拓扑类型．
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定理的结论有两部分：
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（1）任一闭曲面或属nT2型（对某个非负整数n），或属mP2型（对某个正整数m）．
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（2）∀n，m，nT2≠mP2；当n≠n′时，nT2≠n′T2；当m≠m′时，mP2≠m′P2．
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（2）的证明要用到基本群或同调群，现在不能进行．下面只对（1）证明．
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4.2 闭曲面分类定理结论（1）的证明
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1．闭曲面的多边形表示
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§3中已说到，一个偶数边的多边形Γ如果把边成对的粘接，则得到的商空间为闭曲面．记φ是所说的粘合关系．如果Γ在φ之下的商空间同胚于闭曲面S，就说Γ和φ一起构成S的一个多边形表示，记作（Γ，φ）．粘合关系φ可以按下面约定在Γ上表出：要粘接的边对标以同一字母，并用箭头表示粘接方式．图3-25中列举了四边形上所有可能的粘合关系．其中（a）是环面的表示，（c）是P2，（b）和（d）都是Klein瓶．（e）和（f）请读者自己判断．
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图3-25
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描述一个表示的另一方法是选定Γ的一个顶点和一个转向（逆时针或顺时针），然后依次写出标在各边上的字母，并在右上角加或不加－1来表明其方向与转向相逆或一致．例如若取左下角顶点和逆时针方向，则图3-25中的（b），（c），（e）分别写出为
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aba-1b，abab，aabb-1．
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引理1 任一闭曲面都有多边形表示．
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这个引理的断言将是我们的论证的出发点．引理的证明要用到1925年T. Rado的一个经典结果：闭曲面是可三角剖分的，涉及到本书第六章中的概念．证明本身是初等的，但比较冗长，这里略去了．
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显然，有相同形式的多边形表示的闭曲面是相互同胚的．这给出了判定闭曲面同胚的一个途径．但是，每个闭曲面有许多不相同的多边形表示，这给上述判定方法的使用造成了困难．为此，我们提出“标准多边形表示”这个概念，在这种表示中，要求粘合法则有一定的规律．标准多边形表示有两类，它们用文字形式写出为
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a1a1a2a2…amam． （Ⅱm）
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我们下面将证明，除球面外，任一闭曲面都有标准表示；并说明有（Ⅰn）这种表示的是nT2型曲面，有（Ⅱm）这种表示的是mP2型曲面．
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2．多边形表示的标准化