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1701044176 基础拓扑学讲义 [:1701040220]

1701044177 §4　基本群的同伦不变性

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1701044179 本节穿插着讲两方面的内容：拓扑空间的同伦等价和基本群的同伦不变性．前者介绍拓扑空间集合中的一种新的等价关系，并讨论各种常用情况，它们都是代数拓扑学的重要的基本概念；后者包括同伦的映射导出的基本群同态间的关系以及基本群的伦型不变性，它们在基本群的计算和应用中起了十分重要的作用．

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1701044181 4.1　同伦的映射导出的基本群同态间的关系

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1701044184 设于是f可以逐渐地变为g，那么基本群同态fπ也应该“逐渐地”变为gπ．也就是说fπ与gπ应该有着密切的联系．下面来探讨这种联系．

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1701044187 取定x0∈X．记y0＝f（x0），y1＝g（x0）．一般来说y0≠y1，因此fπ和gπ是从π1（X，x0）分别到不同群π1（Y，y0）和π1（Y，y1）的两个同态．设由w（t）＝H（x0，t），t∈I，规定了Y中从y0到y1的道路w，称为H在x0处的踪．记ω＝〈w〉．由定理4.2知，有同构ω＃：π1（Y，y0）→π1（Y，y1）．

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1701044190 定理4.5　gπ＝ω＃fπ：π1（X，x0）→π1（Y，y1），即图表可交换．

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1701044198 证明　∀〈a〉∈π1（X，x0），要验证gπ（〈a〉）＝ω＃（fπ（〈a〉）），即ω〈ga〉＝〈fa〉ω，或

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1701044207 规定F：I×I→Y为F（s，t）＝H（a（s），t）（图4-13）．记b0，b1，c0和c1是I×I上的道路，规定为：bi（t）＝（t，i），ci（t）＝（i，t），i＝0，1．于是Fci＝w，i＝0，1；Fb0＝fa，Fb1＝ga．在凸集I×I上，道路c0b1与b0c1有相同的起、终点，从而此式两边都与F复合，得到　▎

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