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基础拓扑学讲义 [:1701040229]
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§1 单纯复合形
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本节介绍单纯同调论所适用的空间．关于欧氏空间，我们作如下约定：当n＜m时，En将自然看作Em的子空间，它由Em中后面m－n个坐标为0的那些点所构成．因此低维欧氏空间中的图形也自然是高维欧氏空间中的图形．一般地我们将不指出欧氏空间的维数，读者可认为一切讨论都是在足够高维的欧氏空间中进行的．
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1.1 单纯形
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单纯同调论所适用的空间是用各种维数的单纯形所构造的．低维的单纯形是我们十分熟悉的几何图形：0维单纯形是点，1维单纯形是直线段，2维单纯形是三角形，3维单纯形是四面体．高维单纯形则是它们的高维类似物，为了给出它的明确定义，先来分析低维单形的几何特征．
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首先，低维单纯形都是各自顶点集的凸包，即包含它的各顶点的最小凸集，从而它们由顶点完全确定．其次，这些低维单纯形的顶点是要满足一定的几何条件的，如三角形的三个顶点不共线，四面体的顶点不共面等．这些条件推广为下面的概念：欧氏空间中的有限点集A＝｛a0，a1，…，an｝称为处于一般位置（或称几何无关），如果对于它们，满足下列两个条件：
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（1）
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（2）
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的实数组λ0，λ1，…，λn一定都为0．
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显然当A只有一点时，它是处于一般位置的，两个不同点也处于一般位置．从解析几何知道，当n＝2或3时，A处于一般位置相当于它不共线或不共面．下面的命题给出点组处于一般位置与向量组线性无关这两个概念的联系．
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命题6.1 设n＞0，则A＝｛a0，…，an｝处于一般位置向量组｛a1－a0，…，an－a0｝线性无关．
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证明 ．设实数组λ1，…，λn使得记则并且
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由A处于一般位置得到λ1＝λ2＝…＝λn＝0，因此｛a1－a0，…，an－a0｝线性无关．
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．设实数组λ0，λ1，…，λn符合（1）和（2），从（1）得出代入（2）得到由于｛a1－a0，…，an－a0｝线性无关，得到λ1＝…＝λn＝0，再从（1）得出λ0＝0，这说明A处于一般位置． ▎
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如果a0用任何别的ai代替，命题仍然成立．
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定义6.1 欧氏空间中处于一般位置的n＋1个点｛a0，…，an｝（n≥0）的凸包称为一个n维单纯形，简称n维单形，记作（a0，a1，…，an）．称ai为它的顶点，i＝0，…，n．
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本书中为了简便，常用小写英文字母或希腊字母来命名一个单形，并在下面加一横线，如单形单形>等．0维单形只有一个点，即它唯一的顶点a，通常就记作a．
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不难验证，对于欧氏空间的任一子集A，A的凸包为