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基础拓扑学讲义 第八章 映射度与不动点
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拓扑不变性与同伦不变性使得同调群有广泛的应用,例如第四章中基本群应用的那些例子都可改用1维同调群.由于我们规定了各种维数的同调群,不仅能用它们解决低维的问题(如同基本群),也可解决高维问题,下面列出几个比较直接的应用.
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(1)∀n≥0,Sn不可缩,即与单点空间不同伦.
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n=0显然;n>0时,而Hn({p})=0.
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(2)当n≠m时,
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设n>m,则而Hn(Sm)=0.
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(3)当n≠m时,
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否则,从而与(2)的结论矛盾.
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(4)
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(5)在O处没有同胚于En的开邻域,从而n维流形的边界点与内点的区分是有意义的.
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(4)和(5)可仿照第四章中关于n=2的相应情形进行证明.
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本章中将讲几个深入一些的应用,涉及到映射度与不动点问题.
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§1 球面自映射的映射度
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1.1 球面自映射的映射度的定义与性质
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设f∶Sn→Sn,n≥1.f诱导出f*n∶Hn(Sn)→Hn(Sn).由于f*n决定一个整数k,使得∀α∈Hn(Sn),f*n(α)=kα.称整数k为f的映射度,记作deg(f)①.
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映射度有下列基本性质.
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命题8.1 (1)若f,g:Sn→Sn都连续,则
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deg(gf)=deg(g)·deg(f);
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