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基础拓扑学讲义 [:1701040241]
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§3 Lefschetz不动点定理
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Lefschetz不动点定理是关于可剖分空间自映射的不动点存在性的判别定理，Brouwer不动点定理可看作它的一种特殊情形．
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我们用实系数同调群来叙述并证明Lefschetz定理②．
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设K是复形，有αq个q维单形．K的以实数域R为系数群的q维链群Cq（K；R）是R上的αq维线性空间，边缘同态
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∂q∶Cq（K；R）→Cq－1（K；R）
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则是线性映射．于是Zq（K；R）和Bq（K；R）也都是有限维线性空间，从而Hq（K；R）也是线性空间，并且
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dim（Hq（K；R））＝dim（Zq（K；R））－dim（Bq（K；R））．
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单纯映射φ∶K→L诱导出从C（K；R）到C（L；R）的映射
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｛φq∶Cq（K；R）→Cq（L；R）｜q∈Z｝，
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其中每个φq都是线性映射．可规定重分链映射
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｛ηq∶Cq（K；R）→Cq（K（1）；R）｜q∈Z｝，
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ηq也都是线性映射．于是连续映射f∶｜K｜→｜L｜诱导线性映射
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f*q∶Hq（K；R）→Hq（L；R）．
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设H是n维实线性空间，φ∶H→H是线性映射．任取H的一个基｛ε1，ε2，…，εn｝，则有n阶方阵A，使得
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（φ（ε1），φ（ε2），…，φ（εn））＝（ε1，ε2，…，εn）A．
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A的迹数（主对角线上元素之和）与基的选择是无关的，由φ所决定，称为φ的迹数，记作tr（φ）．
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定义8.1 设X是可剖分空间，f∶X→X是连续映射，规定f的Lefschetz数L（f）为
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定理8.5（Lefschetz不动点定理） 设X是可剖分空间，f∶X→X是连续映射．如果L（f）≠0，则f有不动点．
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证明这个定理之前，先证两个引理．
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引理1（迹数可加性定理） 设H是有限维实线性空间，φ∶H→H是线性映射，H0是H的线性子空间，满足φ（H0）⊂H0．记是φ诱导的线性映射，φ0＝φ｜H0∶H0→H0，则
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