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历史上最伟大的10个方程 [:1701051613]
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历史上最伟大的10个方程 4 数学之美的黄金标准 欧拉公式
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eiπ＋1＝0
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说明：自然对数的底（e）的iπ次方再加上1等于整数0。其中e和π都是无理数；i是-1的平方根，是一个虚数。
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发现者：伦纳德·欧拉。
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发现时间：18世纪40年代。
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欧拉公式就像把握了爱情真谛的莎士比亚十四行诗，抑或是表现出人体内在之美的绘画一样，直指事物的最深处。
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——基斯·德福林（Keith Devlin）
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费曼14岁的时候第一次邂逅eiπ＋1＝0。这位后来摘取了诺贝尔物理学奖的年轻人在日记中用大大的黑体字母写道：“这是数学中最不简单的一个公式。”斯坦福大学数学教授凯思·德福林（Keith Devlin）这样写道：“欧拉公式就好比是数学上的达芬奇的蒙娜丽莎画像或者米开朗基罗的大卫雕塑。”电气工程教授保罗·纳欣（Paul J. Nahin）在《欧拉博士的著名公式》（Dr. Euler’s Fabulous Formula）一书中写道：欧拉公式为“数学之美确立了黄金标准”。与我保持通信的人当中有一人说该方程“美得如梦似幻”，另一人则把它称为“上帝的方程”。
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18世纪瑞士数学家欧拉所发现的这个公式已经成为了一个标志，它具有特殊的性质。对于许多人，哪怕是只接受过有限数学训练的人来说，它已经超越了其本身所代表的事实。与许多标志一样，欧拉公式魅力无限、令人着迷。
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欧拉公式是为数不多的在罪犯审判中作为证据出现的数学表达式。2003年8月，一个环保恐怖主义者袭击了洛杉矶的多个汽车代理商，造成的损失价值230万美元。罪犯烧毁了一栋建筑，损毁和污损了100多辆SUV汽车。罪犯还涂写了一些标语，如“GAS GUZZLER”（油老虎）和“KILLER”（杀手）等。在一辆三菱蒙代罗汽车上，罪犯涂写上了公式“eiπ＋1＝0”。FBI警方以此为线索，逮捕了威廉·克特雷尔（William Cottrell）。该线索后来也成为定罪的证据。克特雷尔是加州理工学院的理论物理专业研究生，他共受到纵火罪和阴谋纵火罪等8项指控。在2004年11月的法庭审判上，克特雷尔承认自己在那辆蒙代罗车上涂写了欧拉公式。此次庭审使克特雷尔获罪。在庭审过程中，克特雷尔说：“我5岁的时候就知道了欧拉定理。每个人都应该知道它。”［1］
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另一个由方程演化而来的标志就是E＝mc2。这个方程显然比欧拉公式更加为人所知。E＝mc2是人们所熟悉的流行文化的一部分，人们甚至把它建成了一座纪念碑。2006年世界杯上，为体现德国是“思想之邦”，柏林建造了六座大型户外雕塑，其中有一辆汽车、一双球鞋，以及一个巨大的E＝mc2。
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可是，一个方程何以能成为一个标志呢？毕竟，公式还只是科学探索的第一步。欧拉公式无非是他在探索和研究方程的过程中得到的一个结论，而E＝mc2是爱因斯坦在发展了相对论之后反复思考提出的。方程是否只是科学工具，与用方程来解决的任务相比，并没有什么内在价值？为什么有些方程能超越原本所属的科学探索过程，而获得内在的价值和重要意义呢？工具当然可以成为标志，好比斧头和镰刀就是前苏联的标志一样。但是像方程这样的数学和技术也可以吗？这样一个抽象的事物为什么能与一双球鞋和汽车并肩而立呢？
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欧拉公式的故事将帮助对这些问题作出回答。
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数学的分支
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伦纳德·欧拉（Leonard Euler，1707—1783年）是有史以来最多产的数学家。欧拉选集全部加起来将达75卷。他计算毫不费力，就像“人类呼吸、雄鹰翱翔一样自然”。［2］他有着惊人的记忆力，广泛涉猎各种知识，能一字不落地记下数学用表和维吉尔的《埃涅伊德》（Aeneid）整本。他能看到看似完全不同的数学领域之间的深层联系，并把这些联系表达出来，使结果看上去与2＋2＝4一样地自然。欧拉的基本公式都非常简洁优美。有一位注释者评论道：“方程的形式令人神清目爽。”［3］他的著名公式eiπ＋1＝0就是最为简洁、完美，最令人清爽的一个。
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欧拉生于瑞士的巴塞尔，父亲是一位牧师。父亲从小就教他简单的数学，激发了欧拉对数学的兴趣。欧拉上高中时仍有私人教师教他数学，因为学校里面不教这一科目。14岁时，欧拉进入巴塞尔大学，学习神学、语言学和医学等，涉及面比较广泛。不过最令他着迷的还是数学。每周六下午，他的私人教师、著名数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）教他数学。欧拉后来还与伯努利的儿子尼古拉斯和丹尼尔成为了朋友。1723年，欧拉拿到学位后，遵从父亲的意愿，打算做一名神学家。不过很快他又开始研究数学。
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研究数学并非易事。当时，大学里的研究基本都是在人文领域，留给数学家或者科学家的位置很少。而这些有限的位置也常常为皇家学院所掌握。
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幸运的是，俄国彼得大帝和他的第二任妻子凯瑟琳一世（历史上有名的“文艺复兴夫妻”）正在圣彼得堡着手建立俄国科学院，并在整个欧洲范围内招募著名科学家。早先招募到的是尼古拉斯和丹尼尔。这两人后来又邀请了他们的朋友欧拉。1727年欧拉到达俄国科学院，但此时彼得大帝和凯瑟琳都已去世，他们的继承人对于科学院的热情并不高，不过欧拉仍受到了照顾和支持。周围都是一流的科学家，而欧拉很快成为了科学院的首席数学家。欧拉极为多产，科学院期刊的编辑把他的手稿堆成堆，桌上一有空间就从上面取一些下来。在俄国科学院的14年间他遭受了一些苦难，这其中最大的就是右眼失明。这可能是由过度工作导致眼睛疲劳而造成的。然而，在这段日子里，他自由地进行了大量的计算，在该过程中重塑了数学的基础。
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伦纳德·欧拉（Leonard Euler，1707—1783年）
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数学发展的方式常常不是直接的，就像城市的发展一样。人们先是建起一些定居点，它们之间几乎没有影响。后来这些定居点聚集在一起，形成住宅区。但住宅区的形成是随机的，适应性较差，几乎没有什么商业。此后出现了一位具有远见的领导者，他对各住宅区非常了解。通过重新命名街道，在重要的中心之间修建新的街道，形成了较大的、更加复杂、更有组织和更加统一的建筑。
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欧拉在18世纪的数学中所扮演的角色就是上面这位具有远见卓识的领导者。
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此时，数学中有两个发展成形的分支领域——代数和几何。几何研究的是点、线、面和由这三者构成的图形的性质。这些已经在古代欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）中得到了系统的阐述。几何的一个分支是三角，它研究的是三角形的角度与边长之间的关系。三角最先是作为天文学的工具出现的。代数研究的是具有有限元素和离散解的方程。它主要研究有理数：能用整数或整数之比表示的数（p/q的形式），亦即小数部分不断重复的数。（像π之类的数，小数点后的数有无限多位，而且不重复，称为无理数。）早在中世纪的时候，阿拉伯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米（Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī，约780—850年）就对代数进行了很好的整理和组织，并为其定名。花拉子米对数学的贡献集中反映在《还原与对消的科学》（Hisāb al-jabr wa’l-muqābala，830年）一书中。他采用“还原”（al-jabr）一词来表示在方程的两端加上相等的量，对其进行简化的过程。“还原”直译为希腊语就是“代数”（algebra），自此“代数”也成为整个领域的代名词。
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分支的统一
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