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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054455]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 《大衍术》
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关于三次方程的内容在这本书中的第11章首次出现，这一章的名字是“关于立方加一次方等于常数”（On the Cube and First Power Equal to the Number）。在几个方面，这都很有趣。塔尔塔利亚给卡尔达诺的法则涵盖了压缩了的三次方程的三个基本形式。用现代术语来说，就是：和。这三种形式是必需的，因为当时的数学家不会用负系数，所以没有用简单、通用的形式：。况且，我们现在用的代数符号在后来才出现，大部分的数学陈述都是口头的。例如，这一章的题目，指的就是我们今天将会写成这种特殊形式的三次方程。
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卡尔达诺的书还运用了大量的几何知识。实际上，正如威廉·顿汉姆（William Dunham）在他的好书《天才之旅》（Journey through Genius）中所说：“他的证明纯粹是几何的，包括了用文字书写的立方体和它们的体积。实际上，当我们回想一下当时代数符号的落后情形，以及在文艺复兴时期数学家心目中古希腊几何学的崇高地位，我们就不会这么吃惊了。”(15)
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于是，在每一章中，卡尔达诺首先给出一个特别数值三次方程的几何说明，再写出解决这种方程的一般方法，然后举出一道或多道例题，并用这种法则去解它。因为用零和负数做系数还没有出现，卡尔达诺只好详细说明13种不同的三次方程，每种都只用正系数，并且每种都独立成章。
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此外，这些几何解法本来就既转弯抹角又拖沓冗长，当时的符号又很原始，现在的人读它会很困难，我们没必要仔细阅读他的说明文字的任一部分。但展示一下他的演算法则怎样解决一个压缩了的方程的特例还是值得的，他在第11章中给出了这个解法。
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在书中，卡尔达诺首先做了一个针对每章所用法则的一般性说明，这些法则将对该形式的所有有数值的例子都有效。接着，他举了一个特例，并展示怎样运用此法则解决这个例子。我将把它们结合起来，写出他的法则，并且为了节省地方，在行文中我将把这个特例的结果简洁地放在方括号里。
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用现代符号来表示，这个例子是，他的法则翻译过来，是这样开头的：
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“x的系数的三分之一的立方；加上此方程常数的一半的平方［102＝100］；取它们和的平方根。你要把这个值写两个，一个加上你已经平方过的那个数的一半，一个减去它的一半。于是你会得到一个二项式（binomium）它的余式（apotome）。把二项式的三次方根减去它的余式的三次方根，你就会得到x的值：
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卡尔达诺不耐烦去讲清楚答案，但你们中的数学家会明白这个复杂的表达式的值恰好是2。
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并不是所有的例子都得到了整数根。在有些例子中，他发现他得到了虚根。虽然这些虚根困扰着他，但他确实承认了它们的存在。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054456]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 神圣的许诺？
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毫无疑问，卡尔达诺对这个领域的贡献巨大。问题是：他对待塔尔塔利亚背信弃义到何种程度？答案一如既往的扑朔迷离。首先，奥尔指出，跟卡尔达诺同时的人中，没有谁在当时表达出不满，尽管事件的细节传播甚广。负面的观点似乎在后来即18世纪和19世纪初才出现(16)。
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有一个关于保密的神圣许诺吗？很多作者（也许是大多数）都做了肯定回答。但这主要是基于塔尔塔利亚的声明。在《大衍术》出版后的第二年，塔尔塔利亚出版了他自己的书《各种问题和发明》（Quesiti et Inventioni Diverse，New Problems and Inventions），里面有他保留下来的他们会面的详细记录(17)。很多作者依据这本书，并引用下面这段文字，即塔尔塔利亚所说卡尔达诺给他的承诺：“我按着神圣的福音书起誓，以一个绅士的名义保证，不仅在你告诉我你的发现之后，永不出版它；而且我以一个真正的基督徒的名义承诺，保证把它们当密码一样藏在心里，即使在我死后，没有人能够理解它们。”(18)
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有些人指出这样一个事实：卡尔达诺和塔尔塔利亚会面时，卡尔达诺的秘书和助手卢多维科·费拉里也在场，费拉里后来振振有词地赌咒说，卡尔达诺从来没有发过这样的誓。费拉里声称：在盛怒的狂热下，塔尔塔利亚对以前会面的记录大体上都做了歪曲。
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一位现代的传记作家阿兰·怀克斯（Alan Wykes）走得更远。他争辩说，卡尔达诺自己推算出了这些代数方程，至少没有借助塔尔塔利亚。怀克斯说，在《大衍术》中，“也许是记录或记忆的失误，他（卡尔达诺）在书中说塔尔塔利亚曾和他讨论这个发现并允许他使用它。”但是，怀克斯还说：“出于卡尔达诺大方的姿态，它可能不是一个失误，而是故意地含混。”(19)
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然而，从塔尔塔利亚拜访卡尔达诺到《大衍术》的出现，6年时间过去了。在这期间，卡尔达诺和费拉里听说另有他人有这个解法，于是他们在1543年来到博洛尼亚，拜访他们的同道安尼贝勒·德拉·纳夫。在那里，他们被允许察看希皮奥内·德尔·费罗的手稿，由此他们得知，德尔·费罗才是最早用代数方法解决此类方程的人，而不是塔尔塔利亚。在这种情况下，他们辩驳说，即使卡尔达诺曾立下誓言，那个誓言也不再有效了。
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