1701056671
数学恩仇录：数学家的十大论战 一个新的世纪
1701056672
1701056673
1888年，康托尔写道：“我的理论像岩石一样坚固，所有射向它的箭都会很快被反弹回来射向射箭的人。我凭什么知道这一点？因为我从各方面研究它好多年了；因为我观察过各种与无穷数抵触的事物。”(33)
1701056674
1701056675
过了一段时间，看起来数学中所有的问题都开始有用集合来定义和解释的苗头——事实上，集合论最终会成为数学的基石。
1701056676
1701056677
然而到世纪之交的时候，康托尔完全没有先前那么自信了。首先，他和其他人在他的研究中发现了某些悖论，这使他和他的追随者们很是痛苦。这里陈述的悖论，是指从可接受的前提得出矛盾结论。一个简单的例子是著名的塞维利亚理发师的故事：他宣称要给塞维利亚城所有不给自己刮脸的男人刮脸，那么他给自己刮脸吗？
1701056678
1701056679
集合论中最著名的悖论是1901年由伯特兰·A·W·罗素提出来的。他是英国广为人知的哲学家兼数学家。罗素提了一个乍看起来很简单的问题，但它动摇了集合论和大部分数学学科赖以维系的根基。罗素考虑到这样一个事实：实质上每种事物都可以归入集合，这就是集合论观念如此强大的原因。他假定一个由所有不是自身元素的集合所组成的集合，称这个集合为R。然后他问：集合R是它自身的一个元素吗？跟那个理发师一样，如果R是它自身的元素，那么它不符合这个集合元素的定义；如果它不是自身的元素，那么它是这个集合一个元素。
1701056680
1701056681
罗素悖论不是集合论中发现的第一个悖论，也不是唯一的一个悖论。事实上，康托尔的朋友恩斯特·策梅洛在以前提出过类似的问题，但认为它不值得追究和发表。
1701056682
1701056683
但这个悖论有着深刻的寓意。早期的集合论考虑过包容一切事物的泛集合的可能性。现在看来，这是不可能的，不是每种事物都能形成集合。我们开始看到，这些悖论对数学家和逻辑学家提出了多么严重的挑战。跟其他悖论一样，罗素悖论就像一头在花园里跳舞的大象一样困扰着数学家们。
1701056684
1701056685
然而对于一些数学家来说，包括那些悖论，这些负面的走向中没有一个看起来能推翻康托尔在超限算术中的基本结论。实际上，人们认为康托尔的新观点和新理论对数学分析、函数理论、拓扑学和非欧几何的进一步发展有极其重要的作用，也认为从普遍意义上来说，要对数学有更基本的理解，它确实是个基础。（现在，各种中学数学课一般都教初级的集合论知识，特别是在上概率论和拓扑学课时。）
1701056686
1701056687
20世纪早期，康托尔仍然在和他的一些同行交流，并积极捍卫他的成果。可喜的是，在他还在世的时候，他的成果获得了广泛的认同，会议和颁奖礼的组织者们很乐意邀请他。不幸的是尽管如此，他的病已经严重到他根本没法参加这些公共聚会的程度。1899年夏天，1902年至1903年和1904年至1905年的冬季学期，他都没法授课，这段时间他都在医院度过。在这之后，他每次在哈勒大学医院里呆的时间越来越长，比如，从1907年10月22日到1908年6月15日，从1911年9月28日到1912年6月18日——这一次，他转到一家新的医院。
1701056688
1701056689
1917年5月11日，康托尔最后一次住进哈勒大学医院。他很不乐意离开家，经常写信给他妻子要求回家，但他的心愿没有实现。那时，第一次世界大战激战正酣，食品短缺，这给他们的生活造成了很大麻烦。1918年1月6日，这位仍住在医院里的杰出数学家突发心脏病辞世，享年73岁。
1701056690
1701056691
哈勒大学中心的一小片地上，竖着一块纪念碑，上面刻着康托尔的脸，还有一些数字，使人们想起他的对角化证明。碑上有一句德语，这样写道：“数学的精髓就在于它的自由。”康托尔更倾向于用“自由数学”这个词，而不是更大众化的“纯粹数学”。
1701056692
1701056693
1701056694
1701056695
1701056697
数学恩仇录：数学家的十大论战 总 结
1701056698
1701056699
很多年以后，关注康托尔和克罗内克之间关系的作者都视克罗内克为“既错误又不公正。”他们的素材几乎都毫无例外地来自于贝尔。正如他用不失华丽且通常富有说服力的方式所描述的：“看到数学在康托尔的带领下向疯人院挺进，激情满怀、全身心投入到他所认为的数学真理的克罗内克，利用所有能利用的手段，精力旺盛而又恶毒地抨击‘关于无穷的正确理论’和它超级敏感的作者。最后，产生了悲剧性的后果——不是集合论，而是康托尔进了精神病院。克罗内克的攻击摧毁了这个理论的创始人。”(34)
1701056700
1701056701
后来，贝尔的语气委婉了一点：“对于康托尔的悲剧，也许克罗内克受了过多的责难。对于众多引发康托尔悲剧的因素来说，他的作为仅是其中之一而已。”(35)但他的话还是有这样的含义：克罗内克是个寻衅者，是个坏家伙。贝尔之后的很多作者都持有相同的观点。
1701056702
1701056703
我们已经看到，克罗内克的所作所为很可能使康托尔的病雪上加霜，但不大像是康托尔得病的主因。对于他攻击康托尔怎样“精力旺盛而又恶毒”，也有一些问题值得商榷。
1701056704
1701056705
纽约大学的教授哈罗尔德·M·爱德华兹（Harold M. Edwards）研究过克罗内克的生平和成果，他说：从本质上来说，“克罗内克经常被描述成武断、偏激和刻薄……我相信克罗内克有理性，不是那么刻薄。”(36)他解释说：“尽管在康托尔明显具有臆想狂倾向的世界里，克罗内克扮有极其重要的角色；但我不信，对于克罗内克，康托尔在他的生活中也会那么重要。我怀疑，对于克罗内克来说，康托尔只不过是另一个被魏尔斯特拉斯引入歧途的年轻人，这个年轻人的数学观念令人绝望地被误导了。”(37)
1701056706
1701056707
爱德华兹指出：“在克罗内克死后10年到15年，有人还能从他的著作中得到很有意义的参考，但是从那以后……鲜有例外，了解克罗内克工作的数学家们都是间接了解到他的。”他认为这种事是通过以下途径发生的：
1701056708
1701056709
魏尔斯特拉斯学派的势力和他们对克罗内克的敌意（这在米塔格-列夫勒1900年的演讲中表现得很明显）确实起了作用。另一个起重要作用的人物是戴德金，他通过自己的研究成果，也通过他对诸如韦伯（Weber）、康托尔和希尔伯特这样的年轻数学家的提携来施加他的影响。戴德金创立了一门新的数学学科，也形成了一种对待数学基础的态度，这容易使克罗内克的工作看起来举步维艰……最后，希尔伯特和康托尔各自凭着自己的影响使年轻一代数学家远离了克罗内克(38)。
1701056710
1701056711
这个结果的一个例证，约翰·D·巴罗（John D. Barrow）在他极为畅销的书《天空中的圆周率》（Pi in the Sky）中写道：康托尔的“名字被人记住了，而克罗内克则几乎完全被遗忘”。(39)一位著作在当代鲜有人读的数学家更容易被视为“坏家伙”。
1701056712
1701056713
莫里斯·克莱因指出：“在他那个时代，克罗内克自己的哲学没有支持者，在差不多25年里，没有人追随他的观念。”(40)然而（大约世纪之交的时候）在发现那些悖论后，庞加莱和布劳威尔等数学家重新发现了克罗内克某些成果的价值，并进一步发展了它。对于这两位数学家，我们在后面章节将详细讨论。
1701056714
1701056715
爱德华兹写道：“我相信，克罗内克的价值重新得到重视最大的希望来自……计算机出现引发的定程式思考趋向……”他接着说：“复活这个长期被人忽视的观点会使人以一个全新的视觉欣赏他的遗产，这是我的希望。”(41)同时，人们或许还会用新的眼光看待克罗内克本人。约瑟夫·道本似乎也同意爱德华兹的说法，至少在大体上认同，他认为：因为从众的心理，人们对待克罗内克不公平(42)。
1701056716
1701056717
研究过这场争端的两位社会学家兰达尔·柯林斯（Randall ollins）和萨尔·内斯蒂沃（Sal Restivo）提出了一个有趣的观点：“克罗内克和康托尔之间的斗争……不是传统和创新的数学意识之间的冲突，而是新范式之间的竞争。克罗内克不是数学上的传统主义者，为了反对当时的无穷和无理数、超越数和超限数等观念，他被迫在一个激进的新基础上构建一门新数学。正如康托尔成为形式主义运动的先驱一样，克罗内克的成果预示着20世纪直觉学派的诞生。两个派别都希望数学变得更严密，但在如何达到这个要求上，他们有很深的分歧。”(43)
1701056718
1701056719
对于康托尔的不幸遭遇，无论克罗内克是否在实际上有直接的责任，克罗内克和康托尔之间的冲突都有积极的后果。康托尔最初的观点是不牢靠的——例如，它们更多地是建立在观念的基础上，而不是公理的基础上——考虑到它们是新创的，这也不让人奇怪。意识到批评（特别是克罗内克的）随时都有可能降临，康托尔和几个追随者被迫不断地深究，最后为他的理论得出更牢固的基础。
[
上一页 ]
[ :1.70105667e+09 ]
[
下一页 ]