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数学与知识的探求 [:1701058933]
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数学与知识的探求 第2章 数学的兴起和作用
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在每门具体的自然科学中，有多少数学存在，就有多少严格的科学。
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康德
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诸神没有从一开始就揭示一切，但是人寻求并且终究会获知更多。
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克塞诺芬尼
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衣服经常暴露了穿衣人。
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莎士比亚
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尽管通过我们的感官得到的信息已经过实验细致的观察、度量、检验，尽管我们现在能够借望远镜、显微镜、勘探仪和非常准确的度量设备之助，然而这样得到的知识仍然是有限的，并且只是近似准确的。虽然关于行星的数量、行星上卫星的存在、太阳黑子和利用罗盘导航，我们已经知道得很多了。然而，与那些我们需要、想要研究的现象的多样性和重要性比起来，所有这些知识上的增益都是微不足道的。
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增长和增进我们关于物理世界的知识的关键、有力、决定性的一步是数学的运用。这一工具的作用远优于上章所描述的手段，可称之为最佳的甚至奇迹性的。它不但校正和增长我们关于可知觉现象的知识，而且可以揭示活生生的但根本不能知觉的现象，但这些现象的效果像触摸火炉一样实在。有一些物理鬼魂存在于我们的日常生活中，这是无可怀疑的。它们的存在是如何被揭示出来的，将是我们下面要讨论的焦点。
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我们这些在西欧和美洲受教育的人，对于数学的本性及其日常运用是耳熟能详的，甚至可以说是习以为常。我们通常将西欧数学的源头追溯到巴比伦文明和古埃及文明。甚至这些文明也从公元前3000年起积累了一些有用而不相互关联的规则和公式，以解决人们在日常生活中碰到的实际问题。这些民族并没有认识到利用数学的力量可以扩展感官所揭示的以外的关于自然的知识。他们的数学可看成是化学之前的炼金术。
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数学作为一种逻辑发展和认识自然的工具，是希腊人的创造。大约公元前600年他们开始郑重其事地研究。希腊人如何、为何形成数学这一新概念并认识到数学这一新作用，关于这方面的公元前6世纪、前5世纪的文献没有保存下来。我们所有的只是历史学家的推测。其中一位叙述道，希腊人发现巴比伦人和古埃及人的著作中关于圆面积的结果互相矛盾，不得不决断哪一个是正确的。关于其他的论题有相似的不一致。另一种解释引证了希腊人的哲学兴趣，但这种建议引起的问题比它回答的问题更多。还有一种解释认为演绎数学来源于亚里士多德逻辑，后者产生于政治和社会问题的论争。但希腊数学的产生早于亚里士多德。
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也许所有能够断言的是，自公元前6世纪以降希腊人有了一种洞察，其精义是：自然是理性地设计的，所有的自然现象都遵循一个精确不变的计划，可以说是数学计划。人类的心智有高超的能力，如果将这种能力用于研究自然，理性的数学的模式就能被辨认出，并且变得可理解。
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不管怎么说，希腊人是有勇气和天才对自然现象作出推理解释的第一个民族。希腊人的理解冲动具有追寻和探险的兴奋性。在探险的同时他们制作了地图，如欧几里得几何学，以便其他人能够迅速发现到达前沿的路径，帮助征服新的地带。
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当我们引证说生活于小亚细亚的希腊城邦米利都的泰勒斯（约公元前640—前546）证明了欧几里得几何学的几个定理时，我们有更可靠的历史根据。没有关于他的时代的文献，因而认为他根据逻辑手段证明定理，也是可疑的。然而可以肯定的是他和他小亚细亚的同时代人对自然的设计作了推测。
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我们能够更加确信的是，随着毕达哥拉斯学派（一个公元前6世纪的神秘宗教组织）的创立，确定自然的理性设计征用了数学之助。物理上多种多样的自然现象显示了相同的数学性质，这一事实触动了毕达哥拉斯学派。月亮和橡胶球具有同样的形状及球形所共有的其他性质。在多元性背后存在着数学关系，数学关系必是现象的本质，这不是很明显的吗？
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具体来说，毕达哥拉斯学派在数和数的关系中发现了这种本质。数是描述自然的第一原理，是宇宙的质料和形式。据称毕达哥拉斯学派相信“一切都是数”。毕达哥拉斯学派将数看成点（也许对他们来说是微粒），将点排列成图式，每一个图式可看成是代表了一真实客体。当我们考虑到这些时，它们的信念就更加可理解了。这样组合被称为三角形和正方形的数，可能被认为代表了三角形和正方形的客体。无疑，随着毕达哥拉斯学派发展和精炼了自己的教义，他们开始将数理解为抽象概念而将物理客体理解为其具体实现。
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据信，毕达哥拉斯学派将音乐还原为数之间的简单关系，这是由于他们发现了两个事实。
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第一个，拨动一琴弦产生的声音取决于琴弦的长度；第二个，和谐的声音产生于长度可表示为整数比的琴弦。例如，拨动两条同样紧张着的琴弦，一条长度是另一条的两倍，就能产生和谐的声音。这两个乐音之间的距离现在叫作八度音程。拨动两条长度比为3比2的琴弦，就能形成另一和谐组合。在这种情形中，短弦所发的乐音叫做长弦所发音之上的第五音。的确，在每一个和谐组合中，所拨动琴弦的相对长度都可以表示为整数比。
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毕达哥拉斯学派还将行星的运动“还原”为数的关系。他们相信在太空中运动的物体产生声音，并且运动快的物体比运动慢的发出更高的声音。也许这些观念受在绳子末端旋转的物体的嗖嗖声的启发。根据毕达哥拉斯学派的天文学，行星离地球的距离越远，就运动得越快。因而行星产生的声音随它们离地球的距离而变化，而且这些声音都已和谐化。但是这种天体的音乐，像所有的和谐音一样，可被还原为仅仅是数的关系，从而行星的运动也是这样。
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自然的其他特征也被还原为数。1、2、3、4，这四元特别受到推崇。据称，毕达哥拉斯学派的誓言为：“我以我们灵魂所领受的四元的名义起誓。满溢的自然之根源包含于其中。”自然由四元组成，例如几何学的四元素（点、线、面、体），以及柏拉图后来所强调的四种物质元素（地、气、火、水）。
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四元中的四个数加起来等于十，所以十是理想的数，代表了宇宙。因为十是理想的，天空中必有十个物体。为具体说明所需要的物体的数量，毕达哥拉斯学派引入了居于中央的火，地球、太阳、月亮和当时所知的五个行星围绕着火旋转，在中央火的对面还有一个反地球。无论是中央火还是反地球都不可见，因为地球上我们居住的地区正好和它们相背。就这样毕达哥拉斯学派建立了基于数的关系的天文学理论。
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通过这些例子我们就可以理解公元前五世纪著名的毕达哥拉斯主义者菲罗劳斯的下述论断：
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如果没有数及其本性，存在之物无论就其自身来说还是就其与他物之间的关系来说，都不会为人明白。你会观察到数的力量不但在神魔的事务中起作用，而且在人的所有行为和思想中，在所有的技艺和音乐中，都发生作用。
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