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数学与知识的探求 [:1701058939]
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数学与知识的探求 第8章 相对论的序幕
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常识是十八岁之前在头脑中所铺下的偏见层。
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阿尔伯特·爱因斯坦
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公理是为几千年的时间所神圣化的偏见。
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埃里克T·贝尔
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与在数学科学本身中的情形有点类似，大约在1900年数学物理学家对于他们的成就和物理理论的状况自鸣得意、自我满足。他们不是揭示了一个全新的世界——电磁现象的世界——即将丰富、加速和扩展我们的文化和经济世界，改善人类的交往？两个世纪以来以太已被接受作为光和电磁现象传播的媒介，这麻醉了数学物理学家，使他们进入了安闲、无批判的睡眠。
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然而，1900年的自满自足是暴风雨前的平静。当非凡的成就所带来的欣喜消退之时，数学物理学家意识到尚有一些大问题需要解决。一种解决方式——相对性理论，将彻底改变我们关于物理世界的科学概念。直到今天这场革命也没有无线电和电视向公众展示的同样的影响力，但是对于我们理解物理世界的本性、理解什么是客观实在的，其含义却同样至关重要。
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数学家和物理学家看见了什么问题使他们清醒起来，对于宇宙的重大现象采取了全新的处理方式？第一个问题就是关于物理空间的几何学实质。为理解这个问题，我们须按原路返回去。
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在过去的两千年中有一些数学家质疑过欧几里得平行公理的物理真实性，这条公理是：
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如果与两条直线相交的直线在同一边所形成的内角都小于直角，那么延长这两条直线它们将在角度小于直角的直线那一边相交。
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也就是说，如果角1和角2之和小于180度，那么直线a和b延伸到足够长将会相交。
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图32
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欧几里得有充分的理由来以这种方式表述其公理。他本来可以这样断言，如果角1和角2之和为180度，则直线a和b永不相交；也就是说，直线a和b平行。然而，欧几里得显然不敢设定会有永不相交的两条无限长直线。当然无论是经验还是自明性都不能证实无限长直线的行为。然而，欧几里得在其平行公理及其他公理的基础上确实证明了无限长平行直线的存在。
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欧几里得所表述的平行公理被认为有点太复杂了，缺少其他公理的简单性。很显然即使欧几里得也不喜欢平行公理的这种表述，因为直到在未加利用它就证明了所有的定理以后，他才开始用它。即使在古希腊时代数学家们已开始致力于解决欧几里得平行公理所提出的问题。所作的尝试有两类。第一类是以一种似乎更自明的表述来替代平行公理。第二类是试图从欧几里得的其他九个公理中推导出它。如果这是可能的话，欧几里得的表述将会成为定理，从而不再有问题。在两千年的时间里，几十个大数学家，更不用提小数学家，在两类尝试中都努力过。这段历史既漫长专业性又强，大部分将不在这里重述，因为对这段历史的叙述很容易得到，且与我们的主题并不是特别相关【1】。
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对于所提议的替代公理，我们至少应该讨论其中一个，因为这是当今我们通常在高中时学到的。这种表述归功于约翰·普雷夫埃（John Playfair, 1748—1819），他是于1795年提出的：
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通过不在直线l上的一给定点P，在P和l的平面中有一条且只有一条直线与l不相交。
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所提议的所有其他替代公理，尽管似乎比欧几里得的表述简单，细加考察会发现并不比之更令人满意。当然，普雷夫埃的平行公理将欧几里得所回避的当作了公理，即可能有两条永不相交的无限长直线。
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在第二类解决平行公理问题的尝试中，即寻求从其他九条公理推导出欧几里得的断言，最有意义的尝试是由盖洛拉摩·萨克里（Gerolamo Saccheri, 1667—1733）作出的，他是耶稣会牧师，帕维亚大学的教授。他的想法是这样的，如果采纳了与欧几里得公理在本质上不同的公理，就有可能得出与其他定理矛盾的定理。这样的矛盾意味着否认欧几里得平行公理——唯一一条有问题的公理——是不成立的，从而欧几里得平行公理必然是真的——也就是说，它是其他九条公理的结果。
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我们来考虑与欧几里得公理等价的普雷夫埃公理，萨克里首先假设通过点P（图33）没有直线与l平行，从这条公理以及欧几里得所采纳的其他九条公理，萨克里的确推导出了矛盾。萨克里接着尝试了第二种唯一可能的选择，即通过点P，至少有两条直线p和q无论如何延长都不会与l相交。
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图33
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萨克里继续证明了许多有趣的定理，直到他得到了这样一个定理，它是如此奇怪、如此令人难以接受，他就断定这与先前确立的结果矛盾。所以萨克里认为有充分的理由得出这样的结论：欧几里得平行公理实际上是其他九条公理的推论，就于1733年出版了他的《从归谬法证明欧几里得》（Euclid Vindicated from All Faults）。然而，后来的数学家意识到萨克里在第二种情况下没有真的得出矛盾，因而平行公理问题依然未决。
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寻找欧几里得平行公理的可接受的替代，或证明欧几里得的断言必是其他九条欧几里得公理的推论，这类尝试是如此之多，又都归为徒劳，1795年伟大的数学家让·勒翁·达朗贝尔（Jean Le Rond d’Alembert, 1717—1783）将平行公理问题称作“几何学基础中的丑闻”。