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第三章 非欧几何学
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每一个结论假定先有前提；这些前提本身或者是自明的而不需要证明，或者只能依赖其他命题而建立，鉴于我们不能这样追溯到无穷，每一门演绎科学，尤其是几何学，必须以某一数目的不可证明的公理为基础。因此，有关几何学的论著，都是以陈述这些公理开始的。不过，在这些公理中，也要有所区分：例如，“等于同一量的一些量彼此相等”就不是几何学命题，而是分析命题。我认为它们是先验分析判断，我不愿去理会它们。
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可是，我必须强调几何学所特有的其他公理。大多数专著中都明确地陈述了这三个公理：
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1°通过两点只能作一条直线；
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2°直线是一点到另一点的最短的路径；
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3°通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行。
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一般地，虽然第二个公理的证明被省略了，但是从其他两个公理以及从许多默认而没有阐述它们的公理中，可以把它演绎出来，我将进一步说明这一点。
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人们长期以来也想证明第三个公理，即所谓的欧几里得公设，但总是白费气力。人们为这一幻想的期望耗费了多么巨大的精力啊，其情景真是令人不可思议。最后，在19世纪头25年，几乎在同一时期，匈牙利的鲍耶（Bolyai）和俄国的罗巴契夫斯基无可辩驳地指出，这种证明是不可能的；他们几乎使我们摆脱了“无公设”的几何学的发明家；从此以后，法国科学院每年仅收到一两篇新证明的论文。
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问题并没有结束；不久，由于黎曼（Riemann）发表了题为《几何学的基本假设》的著名论文，问题才获得了巨大进展。这篇论文引出了许多新近的著作，我将进一步谈论它们，在这些著作中，引用一下贝尔特拉米（Beltrami）和亥姆霍兹（Helmholtz）的著作是合适的。
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鲍耶-罗巴契夫斯基几何学。假如可以从其他公理导出欧几里得公设，那么显而易见，在否定该公设和承认其他公理时，我们便会导致出矛盾的推论；因此，不可能在这样的前提上建立融贯的几何学。
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现在，这恰恰是罗巴契夫斯基所做的事情。
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他开始假定：通过一给定点能够引两条与已知直线平行的直线。
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此外，他仍保留了欧几里得的所有其他公理。从这些假设出发，他演绎出一系列定理，在其中不可能找到任何矛盾，而且他构造出一种几何学，其完美无缺的逻辑绝不亚于欧几里得几何学的逻辑。
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当然，这些定理与我们习用的定理截然不同，乍看起来，它们不能不使人们稍感困惑。
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例如，三角形的三个角之和总是小于两直角，这个和和两直角之差与三角形的曲面成比例。
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不可能构造一个与已知图形相似、但具有不同维度的图形。
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如果我们把圆周分为n等分，并在各分点引切线，若圆的半径足够小，则这n个切线将形成一个多边形；可是，若这个半径足够大，则它们将不相交。
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多举这些例子是无用的；罗巴契夫斯基的命题与欧几里得的命题毫不相干，但它们在逻辑上却是相互密切关联的。
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黎曼几何学。设想一个唯一地由没有厚度（高度）的生物栖息的世界；并假定这些“无限扁平”的动物都在同一平面而不能离开。此外，还要承认这个世界距其他世界足够远，以致摆脱了那些世界的影响。当我们正在做假设时，我们不妨再赋予这些生物以理性，并相信它们能够创造几何学。在此情况下，它们将肯定认为空间只有两维。
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不过，现在假定，这些想象的动物虽则依然没有厚度，但它的体形却是球形的而不是平面形的，它们都在同一球上，没有能力走出去。它们将构造什么几何学呢？首先，很清楚，它们将认为空间只有两维；对他们来说，起直线作用的将是球面上一点到另一点的最短路径，即大圆弧；一句话，它们的几何学将是球面几何。
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它们所谓的空间将是它们必须停留于其上的这个球面，在这个球面上，发生着它们能够了解的一切现象。因此，它们的空间将是无界的，因为在一个球面上人们总是能够一直向前而永远也不会停下来，不过它们的空间将是有限的；人们从来也不能找到它的终点，但却可以绕它转圈子。
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好了，黎曼几何学是扩展到三维的球面几何。为了构造它，这位德国数学家不仅不得不抛弃欧几里得公设，而且也不得不抛弃第一个公理：通过两点只能做一条直线。
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一般地讲，在球面上，通过两已知点我们只能引一个大圆（正如我们刚才看到的，对于我们想象的生物来说，这种大圆可以起直线的作用）；但是也有例外：若两已知点在对径上，则通过它们能引无数个大圆。
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同样地，在黎曼几何学（至少在它的各种形式之一）中，通过两点一般只能引一条直线；但是也有例外情况，即通过两点能引无数条直线。
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在黎曼几何学和罗巴契夫斯基几何学之间存在着某种对立的东西。
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