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第三章 非欧几何学
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每一个结论假定先有前提;这些前提本身或者是自明的而不需要证明,或者只能依赖其他命题而建立,鉴于我们不能这样追溯到无穷,每一门演绎科学,尤其是几何学,必须以某一数目的不可证明的公理为基础。因此,有关几何学的论著,都是以陈述这些公理开始的。不过,在这些公理中,也要有所区分:例如,“等于同一量的一些量彼此相等”就不是几何学命题,而是分析命题。我认为它们是先验分析判断,我不愿去理会它们。
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可是,我必须强调几何学所特有的其他公理。大多数专著中都明确地陈述了这三个公理:
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1°通过两点只能作一条直线;
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2°直线是一点到另一点的最短的路径;
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3°通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行。
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一般地,虽然第二个公理的证明被省略了,但是从其他两个公理以及从许多默认而没有阐述它们的公理中,可以把它演绎出来,我将进一步说明这一点。
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人们长期以来也想证明第三个公理,即所谓的欧几里得公设,但总是白费气力。人们为这一幻想的期望耗费了多么巨大的精力啊,其情景真是令人不可思议。最后,在19世纪头25年,几乎在同一时期,匈牙利的鲍耶(Bolyai)和俄国的罗巴契夫斯基无可辩驳地指出,这种证明是不可能的;他们几乎使我们摆脱了“无公设”的几何学的发明家;从此以后,法国科学院每年仅收到一两篇新证明的论文。
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问题并没有结束;不久,由于黎曼(Riemann)发表了题为《几何学的基本假设》的著名论文,问题才获得了巨大进展。这篇论文引出了许多新近的著作,我将进一步谈论它们,在这些著作中,引用一下贝尔特拉米(Beltrami)和亥姆霍兹(Helmholtz)的著作是合适的。
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鲍耶-罗巴契夫斯基几何学。假如可以从其他公理导出欧几里得公设,那么显而易见,在否定该公设和承认其他公理时,我们便会导致出矛盾的推论;因此,不可能在这样的前提上建立融贯的几何学。
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现在,这恰恰是罗巴契夫斯基所做的事情。
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他开始假定:通过一给定点能够引两条与已知直线平行的直线。
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此外,他仍保留了欧几里得的所有其他公理。从这些假设出发,他演绎出一系列定理,在其中不可能找到任何矛盾,而且他构造出一种几何学,其完美无缺的逻辑绝不亚于欧几里得几何学的逻辑。
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当然,这些定理与我们习用的定理截然不同,乍看起来,它们不能不使人们稍感困惑。
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例如,三角形的三个角之和总是小于两直角,这个和和两直角之差与三角形的曲面成比例。
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不可能构造一个与已知图形相似、但具有不同维度的图形。
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如果我们把圆周分为n等分,并在各分点引切线,若圆的半径足够小,则这n个切线将形成一个多边形;可是,若这个半径足够大,则它们将不相交。
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多举这些例子是无用的;罗巴契夫斯基的命题与欧几里得的命题毫不相干,但它们在逻辑上却是相互密切关联的。
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黎曼几何学。设想一个唯一地由没有厚度(高度)的生物栖息的世界;并假定这些“无限扁平”的动物都在同一平面而不能离开。此外,还要承认这个世界距其他世界足够远,以致摆脱了那些世界的影响。当我们正在做假设时,我们不妨再赋予这些生物以理性,并相信它们能够创造几何学。在此情况下,它们将肯定认为空间只有两维。
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不过,现在假定,这些想象的动物虽则依然没有厚度,但它的体形却是球形的而不是平面形的,它们都在同一球上,没有能力走出去。它们将构造什么几何学呢?首先,很清楚,它们将认为空间只有两维;对他们来说,起直线作用的将是球面上一点到另一点的最短路径,即大圆弧;一句话,它们的几何学将是球面几何。
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它们所谓的空间将是它们必须停留于其上的这个球面,在这个球面上,发生着它们能够了解的一切现象。因此,它们的空间将是无界的,因为在一个球面上人们总是能够一直向前而永远也不会停下来,不过它们的空间将是有限的;人们从来也不能找到它的终点,但却可以绕它转圈子。
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好了,黎曼几何学是扩展到三维的球面几何。为了构造它,这位德国数学家不仅不得不抛弃欧几里得公设,而且也不得不抛弃第一个公理:通过两点只能做一条直线。
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一般地讲,在球面上,通过两已知点我们只能引一个大圆(正如我们刚才看到的,对于我们想象的生物来说,这种大圆可以起直线的作用);但是也有例外:若两已知点在对径上,则通过它们能引无数个大圆。
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同样地,在黎曼几何学(至少在它的各种形式之一)中,通过两点一般只能引一条直线;但是也有例外情况,即通过两点能引无数条直线。
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在黎曼几何学和罗巴契夫斯基几何学之间存在着某种对立的东西。
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