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统计学的世界（第8版） [:1702629687]
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统计学的世界（第8版） 第15章 描述相关关系：回归、预测与因果关系
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案例分析
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预测股市的走势可能让你发财，难怪有那么多人都埋头在股市信息里。
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确实有些令人匪夷所思的方法。“超级碗指标”指的是每年1月或2月初举办的超级碗橄榄球赛可以预测该年股市的表现。美国国家橄榄球联盟（NFL）由原来的NFL和美国橄榄球联盟（AFL）合并而成。超级碗指标声称，若原本属于NFL的球队赢了超级碗，该年股市就会上涨；若原本属于AFL的球队赢了，股市就会下跌。从1967年第一届超级碗至2011年的45年间，用这个指标所做的股市预测中有35次是正确的。（我们把巴尔的摩乌鸦队看作老的NFL球队，因为球队在来到巴尔的摩之前是克利夫兰布朗队。我们把坦帕湾海盗队也视为原本属于NFL的球队，但它既不是一只待合并的球队，最初也不是NFL的球队，而是AFL的球队。）这个指标的预测正确率达到75%，令人印象深刻。
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“昨天（2012年2月5日）一支NFL球队——纽约巨人队赢得了超级碗冠军，根据这个指标，今年的股票将会上涨。那么，我该投资股票吗？”
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在这一章，我们将学习如何通过其他变量来预测某个变量的统计方法，而不只是数那些上上下下的点。我们还将学习变量之间的因果关系。学完这一章，你就能够对超级碗指标做出评价了。
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回归直线
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如果散点图显示出两个数值变量之间的线性相关关系，我们会在散点图中画一条直线，来对这个整体形态进行描述。“回归直线”（regression line）可以对两个变量间的关系进行描述，但条件是：其中一个变量可以用来解释或预测另一个变量。也就是说，回归直线描述的是一个解释变量和一个反应变量之间的相关关系。
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回归直线
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回归直线是一条直线，描述当解释变量x的值改变时，反应变量y的值会发生怎样的变化。我们常用回归直线来预测对于某一个给定的x值，y值是什么。
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例1 始祖鸟化石标本
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始祖鸟化石的两种骨头的长度之间存在线性相关关系。图15-1展示了5件标本的两种骨头长度，图中的直线对于整体形态做了简要描述。
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还有一件始祖鸟化石不完整，股骨长50厘米，肱骨却不见了。我们能不能猜出肱骨有多长呢？肱骨和股骨之间的线性相关关系非常强，使得我们可以放心地用股骨长度来预测肱骨长度。图15-1告诉我们可以这样做：从股骨长度（50厘米）开始，在这一点的正上方找到和直线相交的点，然后查看纵轴上对应的值，我们就可以得到肱骨长度大约是56厘米。如果代表这件化石的这个点确实是在这条直线上，肱骨长度就应该是这个数值了。也就是说，我们的这个预测会相当准。
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图15-1 用回归直线来做预测
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例2 总统选举
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共和党的罗纳德·里根当过两届美国总统，分别是在1980年和1984年。他的减税政策刺激了经济发展，带来税收收入的增加。图15-2展示了里根的竞争对手民主党候选人吉米·卡特（1980年）和沃尔特·蒙代尔（1984年）在各个州的支持率，并显示出正线性相关关系。我们预计会存在这种现象，因为一些州倾向于支持民主党，而另一些州倾向于支持共和党。图中只有一个异常值，即卡特的家乡佐治亚州，1980年有56%的选票投给了民主党的卡特，而1984年只有40%的选票投给了民主党。
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我们可以用图15-2上的回归直线，根据1980年的投票结果预测某个州1984年的投票情况。这个图里的点，相比图15-1来说，分布得离直线较远。度量线性相关程度的相关系数为r，在图15-1里，r=0.994，而在图15-2里，r=0.704。因此可见对选举结果的预测，一般来说其准确度要比预测始姐鸟肱骨长度要差。
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图15-2 较弱的线性相关关系
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回归方程式
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当散点图显示出像图15-1那么强的线性相关关系时，用目测法画一条接近所有点的直线是很容易的。然而对图15-2来说，不同的人用目测法，可能会画出很不一样的直线。因为我们想用x来预测y，所以我们想要的直线，是在垂直方向（和y轴平行的方向）上和点尽量接近。在用目测法画直线时，很难只顾及点和直线的垂直距离。而且，用目测法只能在图上画出直线，却得不到线性方程式。我们需要找一个办法，根据数据找出垂直方向上距离那个点最近的线性方程式。有许多不同方法可以使垂直距离“越小越好”，其中最常用的就是“最小二乘法”（least-squares）。
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用最小二乘法找出回归直线
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用最小二乘法找到的回归直线，是使所有数据点距离直线的垂直距离的平方和最小的直线。