1702638306
统计学的世界（第8版） [:1702629694]
1702638307
统计学的世界（第8版） 第20章 赌场的生意经：期望值
1702638308
1702638309
案例分析
1702638310
1702638311
如果你赌博，你就会在乎赢钱的概率有多大，它可以告诉你，你在赌博中取胜的比例。你更在乎的是你能赢多少钱，因为赢很多钱比只赢一点儿要好得多。
1702638312
1702638313
有很多种赌博方式。你可以买多州彩票，累积奖金很多，但是赢的概率很小。你可以玩轮盘赌，赢的概率要比多州彩票高很多，但是赌池中的累积赌注较少。哪一种游戏更好，是有很多累积奖金但赢的概率极小的多州彩票，还是累积赌注不多但赢的概率大一点儿的轮盘赌？
1702638314
1702638315
在这一章，你将学习期望值。期望值提供了一种比较上述两种赌博方式哪种更好的方法。学完本章，你将会知道该买多州彩票还是在轮盘赌上押注。
1702638316
1702638317
1702638318
1702638319
1702638320
期望值
1702638321
1702638322
机会游戏可以追溯到古代，它一直贯穿着人类历史。公共和私人彩票在美国建国早期非常普遍，在消失了约一个世纪之后，于1964年再度出现，当时新罕布什尔州通过彩票增加政府收入而不加税的做法引发了轰动。当更大的州也这样做的时候，这种轰动效应就迅速消退了。现在美国有42个州和加拿大的所有省都有彩票，这使得赌博作为娱乐活动被人们接纳。合法的赌博业务可以在美国50个州中的48个经营，有超过一半的美国成年人参与合法赌博。他们在这上面花的钱，比在观看体育比赛、玩视频游戏、逛主题公园和看电影上花的钱加起来还多。如果你打算尝鲜，应该先了解什么是好或坏的赌博。正如我们前面的案例所讲，我们既关注自己能赢多少钱，也在意赢的概率。
1702638323
1702638324
例1“三州每日一数”彩票
1702638325
1702638326
有一种简单的彩票游戏，就是新罕布什尔州、缅因州和佛蒙特州共同发行的“三州每日一数”。你付0.5美元，选择一个三位数。发行机构用随机方式选出一个三位数的中奖号码，若和你选出的号码一样，你就能赢得250美元。因为三位数共有1000个，所以你中奖的概率是1/1000。以下是你赢钱的概率模型：
1702638327
1702638328
1702638329
1702638330
1702638331
平均来说，你可以赢多少钱？这两个结果的常见平均数是125美元，但将它视为你赢钱的平均数是毫无道理的，因为得到250美元的概率比什么也得不到的概率小得多。长期来说，你赌1000次才有1次可以赢得250美元，而其他999次你都会一无所得。（当然，如果你坚持玩这个游戏，即使你买了1000次彩票，也不能保证你一定会赢一次）。你买彩票的长期平均所得是：
1702638332
1702638333
250美元×0.001+0美元×0.999=0.25美元
1702638334
1702638335
即25美分，由此可见，长期来说，州政府只拿出一半赌注作为彩金，自己则留下了另一半。
1702638336
1702638337
我们在例1中用来评估值不值得赌的这种“平均结果”（average outcome），有一个一般定义。
1702638338
1702638339
期望值
1702638340
1702638341
有数值结果的随机现象，其期望值（expected value）是每一个结果乘以它的概率，然后再加总。
1702638342
1702638343
用符号表示，假设可能的结果是a1、a2…ak，它们的概率分别是p1、p2…pk，则期望值是：
1702638344
1702638345
期望值=a1p1+a2p2+…+akpk
1702638346
1702638347
期望值是所有可能结果的平均数，但不像平常的平均数一样对所有结果一视同仁，而是要把每个结果依照它的概率来加权。所以，经常发生的结果，就有比较高的权重。
1702638348
1702638349
例2“六组连胜”彩票
1702638350
1702638351
例1中的彩票是在你选的三位数与中奖号码完全相同时付给你彩金。你也可以选择另一种售价1美元的“六组连胜”彩票。你还是要选一个三位数，但是现在有两种情况可以赢钱。如果你选的三位数和中奖号码一样，你可以赢292美元；如果三个数字一样但排列顺序不同，你就只能得到42美元。比如，假设你选的三位数是123，中奖号码也是123，你就可以得到292美元。如果中奖号码是132、213、231、312和321其中之一，你就只能得到42美元。长期下来，每赌1000次，你就有1次机会赢得292美元，有5次机会赢得42美元，所以你赢钱的概率模型是：
1702638352
1702638353
1702638354
1702638355