1703536073
预见相关性：风险管理新范例 [:1703535702]
1703536074
预见相关性：风险管理新范例 第2章 相关性理论
1703536075
1703536076
2.1 条件相关系数
1703536077
1703536078
相关系数用来衡量两个随机变量间的线性关系。本章我们先讨论一些衡量相关性的不同方法，然后讨论测度相关关系的更一般方法。由皮尔森引入的关于相关系数的标准定义强调的是线性相关。如果x和y是随机变量，那么它们间的相关系数可以简单表示为
1703536079
1703536080
1703536081
1703536082
1703536083
任何这样的相关系数必介于-1和1之间。这种方法计算的相关系数大小不会随着两个变量各自的一元线性变换而改变。特别地，x*=α+βx和y*=α+βx的相关系数与y和x间的相关系数一样。相关系数一般会随着变量的非线性变换而改变。因此，两个互相依赖关系非常强的随机变量的相关系数可能小于1，因为它们是非线性相关的。这种现象经常会发生在金融衍生品方面，比如期权收益率和其基础构成资产。
1703536084
1703536085
在时间序列中，随机变量y和x代表一个特定的时期，比如某个时间段的收益率。这种情况下，相关系数的表达式与随机变量的观测时间有关，这种相关系数被称作无条件相关系数，并且定义为
1703536086
1703536087
1703536088
1703536089
1703536090
保证这个定义有效的条件是所有的矩必须存在。在许多情况下，均值、方差和协方差不仅存在，而且它们的大小不随时间变化或者说是协方差平稳的。因此，无条件相关系数也是不随时间变化的。然而，资产价格的例子给我们提出了一个明确的警示。有时，调查者调查的是价格间的相关系数而不是收益率间的相关系数。由于无条件均值和方差一般没有被定义，所以我们问“两种资产的价格有多大的相关性”是没有意义的，只有问“它们的收益率有多大的相关性”才有意义。但是，即使是收益率，也可能不是协方差平稳的，其无条件相关系数随着时间而变化。当欧元开始发行时，欧洲的股票、债券收益率间的相关系数永久改变了。许多其他的相关系数运动过程以及其波动性很有可能被认为是非平稳的。
1703536091
1703536092
许多相关系数由取决于期望概率密度隐式的式（2-1）和式（2-2）表示。如果概率密度是客观的概率密度，那么这些相关系数就是客观的相关系数，但它们也可能是主观的相关系数或者风险中性的相关系数。在贝叶斯方法的背景下，它们可能是前者也可能是后者。
1703536093
1703536094
表达式中的密度函数也可能是一个条件密度函数。最重要的条件密度是一个以前面的信息集为条件的时间序列密度函数。因此，y和x在时刻t+s的条件相关系数能表示为在时刻t可获得信息的一个函数
1703536095
1703536096
1703536097
1703536098
1703536099
这个表达式很明显就是条件协方差除以条件标准差的乘积。在金融应用中，这是非常重要的一个条件相关系数。由于形成今天的投资组合必须以对未来风险和收益率的预测为基础，所以这是要用到的一个相关系数。由于风险出现在未来，所以风险取决于未来的相关系数。未来信贷违约的数量取决于今天所作出的最好估计。事实上，所有的金融领域中相关系数的应用都涉及条件相关系数。如果定义中没有明确时间条件“/t”，那么很有可能指的是当s=1的情形。
1703536100
1703536101
资产价格间的条件相关系数——或者说更为重要的资产价格对数间的相关系数——实际上在许多情况下是定义明确的。这是因为条件均值仅仅是对股息和期望收益率作调整的滞后资产价格。大多数情况下，特别是针对高频数据，价格对数的条件期望只是滞后的对数价格，所以条件相关系数表达式中的这些项只是收益率。然而，还有一些其他令人感兴趣的条件变量。出于某些意图，我们有兴趣想知道如果某事发生，相关系数会发生怎样的变化。如果土耳其加入欧盟，那么土耳其股票和希腊股票间的相关系数将是多少？这种情况可能只能用一个设定非常仔细的模型来估计。另一个广泛被使用并且容易误解的例子是以某个事件为条件的相关系数，这个事件由两个变量所定义。例如，如果x和y都小于零，或者都小于某个设定值，那么x和y的相关系数是多少？相关系数能够定义为平面的子空间，但这样不容易解释结果。
1703536102
1703536103
Longin和Solnik（2001）在评价一个被广泛接受的假设时明确指出了这点，这个假设认为当波动性更大时相关系数也更大。对于任何联合分布，只利用表示高收益率的数据来计算样本相关系数是较容易的。然后将这个相关系数解释为是以收益率高的事件为条件的相关系数。如果初始的分布是相关系数为正的联合正态分布，那么高收益率的条件相关系数会更大，并且对于那些最极端的收益率，条件相关系数会接近1。另外，以某个事件（收益率是大且正或大且负）为条件的相关系数会接近0。这些都是正态分布的特点，而不是非正态分布的特征。Longin和Solnik利用极值理论参数化设定了高收益率的一个分布族，结果认为正态分布不是一个好的近似，至少对于负的尾部来说是这样。他们发现，在低尾部分的相关性要比预期的正态分布情况下的更强。但是，这个结果是以时间不变为假设条件的。
1703536104
1703536105
Ang和Chen（2002）考察了股票和一个市场指数间的相关系数。他们发现，市场行情回落时的相关系数比市场行情上升时的相关系数要大。对于极端值的变动情况尤其如此。他们对这些差异提出了新的统计检验方法，检验结果明显不同于一个多元正态分布下所预期的结果。
1703536106
1703536107
1703536108
1703536109
1703536110
预见相关性：风险管理新范例 [:1703535703]
1703536111
预见相关性：风险管理新范例 2.2 Copulas
1703536112
1703536113
这些相关系数的测度能用于任何联合密度函数，只要相关的矩存在。这适用于当金融计划工具需要相关系数的时候。对于一些其他问题，也许其他衡量相关关系的方法会更好，并且也许会出现这样的情况，就是对于一些联合密度，我们能找到比仅仅是样本相关系数更有效的估计量。
1703536114
1703536115
在多变量背景下，基本的衡量变量相关性的方法是利用联合密度函数。累积分布函数（cdf）定义为
1703536116
1703536117
1703536118
1703536119
1703536120
式中大写的YS是随机变量，小写的yS是一组实数。从这个累积分布函数中，我们可以得到一元累积分布函数
1703536121
1703536122
