1704421953
演化与博弈论 [:1704421343]
1704421954
演化与博弈论 第三章 消耗战
1704421955
1704421956
在上一章中，我假设为了价值为V的资源而展开竞争的两个鸽策略者能够共享这一资源。但在许多情况下，共享同一资源是不现实的。举例说来，假设两个动物为了一块地盘而展开竞争，而且不存在能够解决争端的非对称因素，比如优先所有权。
1704421957
1704421958
假设：N＝整个地盘拥有者其后代的期望数量；
1704421959
1704421960
kN＝半个地盘拥有者其后代的期望数量（k＜1）；
1704421961
1704421962
n＝不采取竞争行为的动物其后代的期望数量，它在较不有利的地盘上建立栖所。
1704421963
1704421964
如果n＞kN，那么对任何一个竞争者而言，共享同一地盘显然无利可图。争得整块地盘所得到的回报V为N－n。这里，再次提醒读者该回报并非是地盘所有者的期望适应度，而是在其竞争地盘中获胜带来的适应度的增加值。
1704421965
1704421966
于是可以料想V＝N－n，且该竞争并不是通过争斗的方式来解决，而是由竞争者采取炫耀的策略来解决，且坚持该策略最为长久的竞争者必将成为地盘的主人。那么一个竞争者应该坚持该策略多长时间呢？如果虚张声势的成本为零，那么竞争者将永远炫耀下去，这当然是荒谬可笑的。在现实中，虚张声势必将承担一些代价，这是因为长时间的炫耀必将会推迟繁育后代的时间。
1704421967
1704421968
因此，我假设炫耀所带来的成本随着博弈时间延长而上升，且对两个竞争者而言都是如此。一个个体唯一能够选择的就是其准备进行炫耀的时间，以及由此带来的其将承担的相关成本m。于是，如果A和B两个竞争者准备付出的代价分别为mA和mB，那么竞争的赢者必是准备付出更高代价的那一位。实际上，赢者并不需要付出他所准备的全部成本，因为整个博弈的时间是由失败者所决定的。于是该博弈的支付矩阵如下所示：
1704421969
1704421970
1704421971
1704421972
1704421973
上述矩阵假设了在出现mA＝mB的情况时（几乎不可能发生），竞争的结果将完全随机地确定。那么在给定这些支付下，怎样的一个m的选择才是演化稳定的呢？
1704421974
1704421975
在回答这个问题之前，一个生物学的观点必须被提到。当我假设在展开竞争之前唯一可选的策略是选择准备付出的成本m时，已经暗含了这个假设：在竞争过程中没有相关的信息可以获得。信息传递的问题是至关重要的，它将在以后的章节中进行深入的讨论。
1704421976
1704421977
显然，没有一个纯策略是一个ESS。倘若假设一个种群中的所有个体都准备付出代价M。那么他们所得的平均回报为（V/2）－M。一个准备付出M＋δM的突变异种所得的平均回报将是V－M，且这个策略将侵害整体。如果M＞（V/2），则一个不准备付出任何代价的突变异种也能侵害种群。
1704421978
1704421979
因此，如果存在一个ESS，那么其必将是一个混合策略。令这个混合策略为I，其对应的概率密度函数为p（x），即指竞争者选择的付出成本在x与x＋δx的概率为p（x）δx，为了找到ESS所对应的p（x），我们利用Bishop-Cannings定理（见附录三），这个定理在此处的表述为：如果m是构成混合演化稳定策略I的一个纯策略（即p（m）≠0），则E（m，I）是一个常量。
1704421980
1704421981
现在有：
1704421982
1704421983
1704421984
1704421985
1704421986
1704421987
我们需要在约束条件之下，找到满足ƏE（m，I）/Əm＝0这个一阶条件的p（x）。易知，下述函数即为所求：
1704421988
1704421989
1704421990
1704421991
1704421992
这表示了I＝p（x）就是一个均衡策略所具有的结构。为了证明这是稳定的，我们必须验证下式成立：
1704421993
1704421994
1704421995
1704421996
1704421997
当m是一个纯策略时，这将很容易被证明（Maynard Smith，1974），Bishop和Cannings进一步证明了m为任何相异于I的混合策略的情形。
1704421998
1704421999
直观上，函数（3.1）的负指数形式的得出基于下述理由：由于没有信息的交换，一个已经持续炫耀时间t的竞争者，面对仍在进行炫耀的对手，正处于这样一种状态，在这种状态下，对未来的收益和成本的关注正如竞争开始时一样。因此，合乎逻辑的结论是竞争者在t时刻应该作出与0时刻相同的关于未来支出的决策，而这正是负指数分布所要求的。
1704422000
1704422001
如果成本是时间的一个线性函数，那么一个个体准备炫耀的时间将服从负指数分布。然而，服从这种分布的持续时间不是混合ESS存在的有力证据，因为产生这样一个分布所需要的全部条件是个体在单位时间内撤离竞争的概率是固定不变的。而且需要说明的是这个固定不变的概率必须等于一个正确的数值——“正确”在这里意味着这个数值等于具有不同持续时间的个体的适应度，且满足（3.1）式所给出的分布。在Parker（1970a，b）以及Parker和Thompson（1980）的关于粪蝇（Scatophaga stercoraria）的研究工作中提供了两个例子，其一可能是一个混合ESS，而另一个则显然不是。
1704422002