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演化与博弈论 [:1704421374]
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二、有两个纯策略的博弈总是具有一个ESS
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我们可以把博弈的支付矩阵写成：
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如果a＞c，那么策略H是一个ESS。
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如果d＞b，那么策略D是一个ESS。
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如果上述两个不等式都成立，那么H和D都是ESS。
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对剩下的a＜c和d＜b两种情形。令I为混合策略P（H）＋（1－P）（D），其中P表示采取策略H的概率。如果I是一个ESS，那么根据Bishop-Cannings定理（附录三）有，
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aP＋b（1－P）＝cP＋d（1－P）
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图35表明，如果a＜C并且d＜b，那么上述方程总是存在一个满足0＜P＜1的解。解为：
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图35 具有两个纯策略的博弈具有一个ESS。
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为了证明这个解是稳定的，考虑另一个可选策略q＝q（H）＋（1－q）（D）。由于策略I＝P（H）＋（1－P）（D）具有E（H，I）＝E（D，I）的性质，由此得到E（q，I）＝E（I，I）。因此，如果E（I，q）＞E（q，q）成立，那么策略I将是稳定的。
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现在
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由于C＞a，b＞d并且q≠p，由此可以得到E（I，q）＞E（q，q），因此策略I是稳定的。
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总之，H是一个ESS，或者D是一个ESS，或者H和D都是ESS，或者存在一个混合ESS。
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演化与博弈论 [:1704421375]
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三、Bishop-Canning定理
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Bishop-Cannings（1978）证明了下述定理：
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如果策略I是一个支撑（support）〔1〕纯策略a，b，c……的混合ESS，那么就有E（a，I）＝E（b，I）＝…E（I，I）。
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证明：假设纯策略a在策略I的支撑中，并且假设
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E（a，I）＜E（I，I）
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