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演化与博弈论 [:1704421376]
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四、动态性和稳定性
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假设参与竞争的个体可以采取一系列策略i，j……令pi和pi′分别为在连续的两个代际之间的个体采取策略i的频率。如果令Wi表示个体采取策略i的适应度，并且令为种群的平均适应度，那么
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方程组（D.1）用有限差分形式描述了种群的动态变化。它们可以被改写成：
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倘若每一个世代的变化都不是很大，那么上述方程组就可以用微分方程的形式将其替代，
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由于方程组（D.2）的右边部分都是除以了同一个函数，那么其轨线（flows）和不动点与下列方程是等价的
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很重要的一点是，只有在对称博弈中，一般性的方程组（D.2）和（D.3）才具有等价性。对非对称博弈的微分方程处理将在附录十中讨论。
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（D.3）所表述的方程组是由Taylor和Jonker（1978）以及Zeeman（1979）提出的，其目的是为演化博弈论提供连续性动力学。Eigen和Schuster（1977）使用等价的方程组来描述在生命起源的过程中不同类型分子的浓度。由于我们关注的都是一个无性繁殖种群的演化现象，因而这一个在相同的方程中的收敛现象并不令人惊奇。
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有两个问题可问：第一，作为ESS判别条件的（2.4a，b）对动态系统稳定状态的判断究竟到怎样一个程度？第二，有限差分方程（D.1）和类型（D.3）的微分方程的行为之间存在什么差异？
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在考虑第一个问题时，关键是要意识到方程组（D.1）和（D.3）都是描述只有一个离散的并可以繁殖的策略集合存在的种群演化问题，那么一个稳定的状态就是一个稳定的遗传性多态现象，或者纯策略类型的混合。与之相反，满足方程（2.4a，b）的一个混合策略可以由单个个体所采取。在下文中，向量将表示一个多态种群中不同类型的频率，并且向量表示在一个混合策略中不同策略的采取频率。
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有下列结论成立：
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（1）无论是离散型动态还是连续性动态，如果一个能够抵抗任意其他纯策略或者混合策略侵害的策略满足方程（2.4a，b），那么一个由采取策略的个体所构成的种群是稳定的并能够抵抗突变异种的侵害；
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（2）如果只有两个可选的纯策略，那么总是存在一个稳定的状态（见附录二）。如果一个混合策略满足条件（2.4a，b），那么一个由采取策略的个体所构成的种群以及相应的那个多态种群都是稳定的；
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（3）如果存在两个以上的纯策略，而且如果动态变化是连续性的，那么，当一个混合策略P满足条件（2.4a，b），并能够抵抗任意其他纯策略或者混合策略的侵害时，对应的多态性也将具有稳定性。这一点被Taylor和Jonker（1978）所证明，并且Zeeman（1979）给出了更一般性的证明。
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