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微观经济学十八讲 [:1704632884]
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第二节 竞争性市场体系里一般均衡的存在性
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我们关于一般均衡存在性的证明，是依据阿罗与迪布鲁1954年的著名论文（见：Arrow与Debreu: “Existence of Equilibrium for a Competitive Economy”. Econometrica 22:265—290）。
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首先，应该说明，“竞争性”市场实质上就是前面所定义过的完全竞争市场。在这种市场上，消费者的行为是完全由其自身利益所引导的，无论是买者还是卖者，都无法对市场上通行的价格施加任何影响力。但是，与第八讲介绍的完全竞争市场不同的是，这里我们所分析的是社会上各个市场同时达到均衡的情形。即在通行的价格下，各个市场都分别达到了均衡，结果是，所有买者的决策与所有卖者的决策在通行的价格下都相容，供与求全部匹配。
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我们分三步来介绍一般均衡存在性的证明：第一步，介绍需求函数的性质；第二步，引入瓦尔拉斯定律（Walras’ law）；第三步，介绍一般均衡存在性的证明。
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一、需求函数与超额需求函数的性质
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1．需求函数的性质
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由于我们只讨论交易经济，不涉及生产活动，因此，讨论一般均衡的存在性只需要依据需求函数的性质。
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需求函数是从解下列规划而来的
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上述形式里，i代表第i个消费者，的意思是，消费者的收入只依赖于其资源禀赋ei，在通行的市场价格下，他全部出卖其禀赋所得到的钱是p·ei，其消费支出p·xi不得超过其收入。这便是消费者i所面临的预算约束。
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解规划（16.10）是我们在第一讲里已讲过的问题。但是，这里补充引入效用函数ui（x）的性质：
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假定A：效用函数ui（x）在定义域上是连续的，严格递增并且严格拟凹的。
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关于效用函数连续、严格递增，这是大家熟知的，有这两个假定，才有边际效用为正的结果。新的东西只是严格拟凹。什么是严格拟凹？
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【定义】 严格拟凹函数：f：D→R是严格拟凹函数，当且仅当，对于所有的x1，x2∈D，都有
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严格拟凹函数是说，从定义域内取任两点作一凸组合，则函数在该凸组合的值大于f（x1）与f（x2）中小的那个函数值。
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效用函数严格拟凹的假定是指，若有u（x1）与u（x2），则u（tx1＋（1－t）x2）>min｛u（x1），u（x2）｝。即两个消费计划的线性组合所对应的效用水平会优于原来较低水平的那个效用水平，其经济含义是取两个消费计划的某一组合，会使消费者的效用水平至少比原来较差的消费计划有若干提高。
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接下来，我们引入一个定理：
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【定理】 需求函数的基本性质：如果效用函数ui满足假定A，则，当价格向量p≫0时，消费者的问题（即式（16.2））便存在一个惟一解xi（p，p·ei）。同时，xi（p，p·ei）对于p在定义域上是连续的。
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该定理中xi（p，p·ei）其实就是马歇尔需求函数xi（p，y），只不过y＝p·ei。该解的存在性来自于p≫0，因此预算集是有界的。惟一性来自于ui的严格拟凹。x（p，p·ei）的连续性来自于极大化定理。我们在此不证明了。要注意的是，需求函数x（p，p·ei）对于p连续的性质要求p≫0，价格向量中的每一维价格必须是大于零的，即在定义域上。为什么？如其中有一种价格等于零，那么可能对某商品的需求量会无限大，这会破坏需求函数的连续性。
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在瓦尔拉斯1874年关于一般均衡存在性的证明过程中，他运用的是建立需求函数与供给函数的联立方程式。今天，这种证明通常是用更为方便的超额需求函数形式。因此，我们引入超额需求函数的定义。
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