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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 [:1705579852]
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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第八章 保罗·爱多士博士的素数
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战争开始后的一些年里，爱多士的论文涉及的学科在不断地增加。他认识卡茨时，对概率论了解甚少。但几年之后，他就变成了这个领域中的一个领袖专家。他撰写了组合数学、图论、几何与插值法方面的论文。插值法是关于用少数函数值来估计函数的学问。但爱多士的大部分论文仍献给了他的第一爱好——数学皇后数论。
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当爱多士只有10岁时，他的父亲就曾将两相邻素数间的距离可以任意大这一事实证明给他看，爱多士对素数分布的无规则性感到惊讶。素数看来几乎是随机分布的，就像一片片绿洲分布在广大的复合数的沙漠中一样。它们不遵循任何已知的公式。寻找新素数是一件要用穷举查勘法来进行的艰苦工作，最好用国际电脑网络来完成。同时，如果个别素数可以被忽略，则素数总体服从一个简单而完美的定律，即所谓素数定理。
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素数定理的证明在19世纪最后的几年里已告完成。这是数学的最高成就之一。在他还是一个年轻学生时，爱多士就学习了这一定理，但他并不觉得这个经典的证明十分令人满意。这一证明非常难懂，这本身并不构成问题。更严重的是这不是一个“初等”证明。对数学家而言，所谓“初等”与证明的难度无关，初等证明是指仅用经典数论及整数与实数的性质所做的证明。已知的素数定理证明都依赖于诸如连续函数及复数这样的概念。这些概念很难直观地与整数的性质相关联。爱多士甚至在少年时代就已感到难以接受这样的事实：写进天书的素数定理的证明竟然不能依赖于那些整数性质。待他长大后，爱多士告诉他的朋友说，他梦想有一天能给出很多人认为不可能做到的素数定理的一个真正初等证明。1948年，爱多士给出了这本天书中的初等证明，实现了他少年时的野心。这是他一生中最辉煌的成就之一，给他带来了荣誉与名声。同时，这一证明也使爱多士陷入了一生中唯一的一次论战旋涡。
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编制出第一张素数表的人是厄拉多塞（Eratosthenes），他生活在公元前3世纪的希腊。不同于一个数一个数进行的烦琐检验，他发现了一个快捷地筛去大批数的聪明办法，即所谓的厄拉多塞筛法。例如你要构造一张不超过50的素数表。首先写出前50个整数如下：
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由定义，1不是素数，所以划掉1，2是一个素数，将它留下来。表中其他2的倍数都不是素数，所以都划掉：
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上表中，2以后第一个未被划去者为3，它必定是一个素数。保存它而将表中其他3的倍数都划掉：
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如此反复，再下一个首先未被划去者为5，所以它是一个素数。保存它而划去其他5的倍数。你可以连续采用这一做法，直至达到的数已超过表中整数个数的平方根。对于我们的例子，表中共50个数，由于50的平方根大于7，而小于8，所以将7留下，而将7的其他倍数去掉即可终止。这样做的理由在于任何一个复合数一定是两个或以上的素数之积。在这些素因数中不能有两个大于该复合数的平方根，否则这两个素数之积就大于该复合数了。例如100不能有两个素因数皆大于100的平方根10，这是由于两个任意大于10的数之积必定大于100。所以除1之外，任何复合数至少有一个素因数不超过表中整数个数的平方根。当你按上述做法将不超过表中整数个数的平方根的素数倍数都划去后，就已经划去了表中所有的复合数。下面就是前50个数经厄拉多塞筛法筛选后的最后结果：
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在厄拉多塞之后，编造素数表几乎成为对数学皇后虔诚奉献的一项活动了。1776年，费尔克尔（Antonio Felkel）为了流芳百世而编纂了2 000 000以内所有复合数的素因数表。该表的第一卷发表了，它包含了小于408 000的所有整数的因数，但在印刷方面却不像作者所期望的那样成功。除了少数的几卷，费尔克尔的大部分工作成果在以后的土耳其战争中都被用作制造弹药筒了。维也纳帝国财政部曾资助费尔克尔第一卷手稿的印行而未成功，又似乎并非出于善意地扣留了其余未出版的书稿。但这并未阻止费尔克尔重新计算了被没收的部分并将先前的结果扩大至2 856 000。
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波兰数学家库利克（Yakov Kulik）肯定是最英勇同时也是最悲壮的素数迷了。本着人人都应有一个嗜好的理论，库利克花费了20年的业余时间编纂了一张1亿数字内所有整数的素因数表。库利克去世后，他毕生工作的遗稿交给了维也纳皇家科学院图书馆保存，共八卷4 212页，其中除第二卷（从12 642 000到22 825 800）已遗失外，其余各卷今天尚能见到。虽然书稿的丢失对个人来说是一个悲剧，但从数学上看却并不重要。第一卷经检查后发现了太多的错误，致使库利克的努力变得没有价值。
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当高斯还是一个15岁的孩子时，他检查了一张兰伯特（Johann Lambert）编制的102 000以内的素数表，以便观察素数的规律。数学经常被说成是纯推理的最高表现，但高斯却强调它同时也是一门眼睛的科学。这就是说，数学来自对数字、形状与结构的性质的缜密观察。数学家花费了大量时间来观察和探寻规则性与奇异性，并以此为基础建立起他们的猜想与证明。印度数学家拉马努詹花费了大量时间来进行算术计算以使其理论更充实，更具有启发性。他的传记作者卡尼格尔写道：“他与数建立了密切的关系，出于同样的理由，画家们不停地调配着各种颜料，音乐家们反复试验着不同的音阶。”
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年轻的高斯决心要摆脱素数表面的混沌，去看看他是否能找出较大范围的规律。就像一个画家离开他的画架去评估一下自己手头的工作一样。高斯将自然数分成每1 000个数构成的区间，再利用兰伯特编的素数表来计算每个区间中的素数个数。这一技巧还真管用，人们见到在一定的区间以后，素数的分布显得有规律起来了。请看看显示不超过x的素数个数——数学家们称其为函数π（x）——的两张图。第一张图比较密集地考察了从1至100的整数，第二张则比较粗疏，表示1 000之内的数的情况。
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函数π（x）的第一张齿形图，远看时是相当光滑的。利用兰伯特的表上搜集到的数据，高斯得以猜出一个用来描述素数分布的异常简单与精确的定律。高斯的公式精确地刻画了素数稀疏出现的缓慢性与必然性。在100以内的正整数中，素数占25%。在1 000以内的正整数中，素数约占17%。在前100万个正整数中，素数仅占了8%。这一百分比在继续缓慢地与必然地下降着，在不超过10 000亿的正整数中素数的比例已降为4%。最后这个数当然不是库利克的某个狂热继承者一辈子工作的成果，而是运用一个非常有效的计算素数的程序在高速电脑上算出来的。
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图8-1 素数分布（100以内）
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图8-2 素数分布（1 000以内）
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高斯猜想所谓的对数函数可以用来描述素数出现缓慢下降的百分比。对数是指数增长的反函数：1 000是10的三次方（103），所以1 000以10为底的对数为3；由于24 =16，所以以2为底的16的对数为4。用来测度地震强度的里氏（Richter）级就是用对数度量的；里氏5级地震的强度为里氏4级地震的10倍。